Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: Интегрирование степенных рядов. - student2.ru , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Дифференцирование степенных рядов.

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Коэффициенты сi находятся по формуле:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Делениедвух степенных рядов выражается формулой:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение Интегрирование степенных рядов. - student2.ru , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию Интегрирование степенных рядов. - student2.ru .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru 1 1 - x

1 – x 1 + x + x2 + x3 + …

x

x – x2

x2

x2 – x3

x3

……….

Если применить к той же функции формулу Маклорена

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru ,

то получаем: Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

……………………………….

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Итого, получаем: Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции Интегрирование степенных рядов. - student2.ru и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Пример. Разложить в ряд функцию Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

(См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

При Интегрирование степенных рядов. - student2.ru получаем по приведенной выше формуле:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Разложение в ряд функции Интегрирование степенных рядов. - student2.ru может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Тогда получаем: Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Окончательно получим: Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Пример. Разложить в степенной ряд функцию Интегрирование степенных рядов. - student2.ru .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru Интегрирование степенных рядов. - student2.ru Интегрирование степенных рядов. - student2.ru 1 1 + x2

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru 1 + x2 1 – x2 + x4- …

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru - x2

- x2 – x4

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru x4

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru Интегрирование степенных рядов. - student2.ru x4 + x6

………….

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Тогда Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Окончательно получаем: Интегрирование степенных рядов. - student2.ru

Наши рекомендации