Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции)

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.

В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина R_y(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X низкая.

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов.

Коэффициент детерминации

R² = 0.0878

Коэффициент детерминации.

R²= 0.296² = 0.0879

4. Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов.

Y(41.6,49.6) = 502897.32-8443.73 * 41.6-5148.23 * 49.6 = -103714.07

V = X₀^T(X^TX)^-1X₀

где

X₀^T = [ 1 ; 41.6 ; 49.6]

Умножаем матрицы X₀^T и (X^TX)^-1

Умножаем полученную матрицу на X₀, находим V = 0.4

Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака M(Y).

(Y – t*S_Y ; Y + t*S_Y )

где t(20-2-1;0.05/2) = 2.11 находим по таблице Стьюдента.

(-103714.07 – 2.11*264382.6 ; -103714.07 + 2.11*264382.6)

(-661561.36;454133.22)

C вероятностью 0.95 среднее значение Y при X_0i находится в указанных пределах.

Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для индивидуального значения результативного признака.

(-103714.07 – 2.11*494614.56 ; -103714.07 + 2.11*494614.56)

(-1147350.79;939922.65)

C вероятностью 0.95 индивидуальное значение Y при X_0i находится в указанных пределах.

6. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R² или b₁ = b₂ =... = b_m = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R², рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k₁=m и k₂=n-m-1.

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H₀: R² = 0; β₁ = β₂ = ... = β_m = 0.

H₁: R² ≠ 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).

Если F < F_kp = F_{α ; n-m-1}, то нет оснований для отклонения гипотезы H₀.

Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 20 - 2 - 1 = 17, Fkp(2;17) = 3.59

Отметим значения на числовой оси.

Принятие H₀	Отклонение H₀, принятие H₁
95%	5%
0.82 3.59

Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически ненадежно.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Уравнение множественной регрессии

Вместе с этой задачей решают также:

Уравнение парной линейной регрессии

Выявление тренда методом аналитического выравнивания

Уравнение нелинейной регрессии

Проверка на автокорреляцию

Системы эконометрических уравнений

Метод статистических уравнений зависимостей

Онлайн сдача дистанционных тестов

Задание №3

По данным о средних потребительских ценах в РФ, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Параметры линейного, экспоненциального, степенного, гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Выберите из них наилучший, используя среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации.

2. Выбрать лучшую форму тренда и выполнить точечный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы.

3. Определить коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3 и 4 порядков.

4. Построить автокорреляционной функцию временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.

Таблица 3

Исходные данные

Наименование продукта
Газ сетевой, за месяц с человека	3,18	4,31	5,66	6,89	9,47	12,34	14,36	18,08	20,63	24,3	30,2		43,8	48,3

Решение:

Линейное уравнение тренда имеет вид y = a₁t + a₀

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y • t

t	y	t²	y²	t y
	3.18		10.11	6353.64
	4.31		18.58	8615.69
	5.66		32.04
	6.89		47.47	13786.89
	9.47		89.68	18958.94
	12.34		152.28	24717.02
	14.36		206.21	28777.44
	18.08		326.89	36250.4
	20.63		425.6	41383.78
	24.3		590.49	48770.1
	30.2		912.04	60641.6
	37.04		1371.96	74413.36
	43.81		1919.32	88058.1
	48.32		2334.82	97171.52
	278.59		8437.48	559218.48

Для наших данных система уравнений имеет вид:

14a₀ + 28063a₁ = 278.59

28063a₀ + 56252511a₁ = 559218.48

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = -6895.185, a₁ = 3.45

Уравнение тренда:

y = 3.45 t - 6895.185

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 3.45 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 3.45.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

где

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t существенно влияет на y.

Коэффициент детерминации.

т.е. в 93.56% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)

t	y	y(t)	(y-y_cp)²	(y-y(t))²	(y-y(t)) : y
	3.18	-2.52	279.53	32.54	1.79
	4.31	0.93	243.03	11.45	0.79
	5.66	4.38	202.76	1.65	0.23
	6.89	7.83	169.24	0.87	0.14
	9.47	11.27	108.77	3.26	0.19
	12.34	14.72	57.14	5.69	0.19
	14.36	18.17	30.68	14.55	0.27
	18.08	21.62	3.31	12.56	0.2
	20.63	25.07	0.53	19.75	0.22
	24.3	28.52	19.37	17.84	0.17
	30.2	31.97	106.1	3.15	0.0587
	37.04	35.42	293.8	2.61	0.0436
	43.81	38.87	571.72	24.37	0.11
	48.32	42.32	807.74	35.97	0.12
		278.59	2893.73	186.26	4.52

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Стандартная ошибка уравнения.

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Uy = y_n+L ± K

где

L - период упреждения; у_n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T_табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

T_табл (n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 2.179

Точечный прогноз, t = 2012: y(2012) = 3.45*2012 -6895.19 = 45.77

45.77 - 9.86 = 35.91 ; 45.77 + 9.86 = 55.63

Интервальный прогноз:

t = 2012: (35.91;55.63)

Точечный прогноз, t = 2013: y(2013) = 3.45*2013 -6895.19 = 49.22

49.22 - 10.12 = 39.1 ; 49.22 + 10.12 = 59.34

Интервальный прогноз:

t = 2013: (39.1;59.34)

Точечный прогноз, t = 2014: y(2014) = 3.45*2014 -6895.19 = 52.67

52.67 - 10.4 = 42.27 ; 52.67 + 10.4 = 63.07

Интервальный прогноз:

t = 2014: (42.27;63.07)

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Уравнение тренда

Вместе с этой задачей решают также:

Уравнение регрессии

Уравнение множественной регрессии

Показатели вариации

Показатели динамики

Онлайн сдача дистанционных тестов

Степенное уравнение тренда имеет вид y = a₀ t^a₁ (ln y = ln a₀ + a₁ ln t)

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y • t

ln(t)	ln(y)	t²	y²	t y
7.6	1.16	57.76	1.34	8.79
7.6	1.46	57.77	2.13	11.1
7.6	1.73	57.77		13.18
7.6	1.93	57.78	3.73	14.67
7.6	2.25	57.79	5.05	17.09
7.6	2.51	57.8	6.31	19.1
7.6	2.66	57.8	7.1	20.26
7.6	2.89	57.81	8.38	22.01
7.6	3.03	57.82	9.16	23.02
7.6	3.19	57.83	10.18	24.26
7.6	3.41	57.83	11.61	25.92
7.61	3.61	57.84	13.05	27.47
7.61	3.78	57.85	14.29	28.75
7.61	3.88	57.86	15.04	29.5
106.44	37.5	809.31	110.38	285.11

Для наших данных система уравнений имеет вид:

14a₀ + 106.44a₁ = 37.5

106.44a₀ + 809.31a₁ = 285.11

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = -3171.912, a₁ = 417.536

Уравнение тренда:

y = 0t^417.536

Коэффициент тренда b степенной функции есть относительный показатель силы связи, или коэффициент эластичности. Он показывает, на сколько процентов изменится в среднем значение результативного признака при изменении периода t на 1%.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Эмпирическое корреляционное отношение.

где

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t существенно влияет на y.

Индекс детерминации.

т.е. в 98.9% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)

t	y	y(t)	(y-y_cp)²	(y-y(t))²	(y-y(t)) : y
7.6	1.16	1.32	2.31	0.0276	0.14
7.6	1.46	1.53	1.48	0.00504	0.0486
7.6	1.73	1.74	0.89	5.4E-5	0.00423
7.6	1.93	1.95	0.56	0.000376	0.01
7.6	2.25	2.16	0.19	0.00811	0.0401
7.6	2.51	2.37	0.0274	0.0214	0.0582
7.6	2.66	2.57	0.000192	0.008	0.0336
7.6	2.89	2.78	0.0469	0.0124	0.0385
7.6	3.03	2.99	0.12	0.00124	0.0116
7.6	3.19	3.2	0.26	8.3E-5	0.00285
7.6	3.41	3.41	0.53		8.1E-5
7.61	3.61	3.62	0.87	1.2E-5	0.000955
7.61	3.78	3.82	1.21	0.00188	0.0115
7.61	3.88	4.03	1.44	0.0234	0.0395
		37.5	9.95	0.11	0.44

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Стандартная ошибка уравнения.

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Uy = y_n+L ± K

где

По таблице Стьюдента находим Tтабл

T_табл (n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 2.179

Точечный прогноз, t = 2012: y(2012) = -3171.91*2012^417.54 = 69.3

69.3 - 0.24 = 69.06 ; 69.3 + 0.24 = 69.54

Интервальный прогноз:

t = 2012: (69.06;69.54)

Точечный прогноз, t = 2013: y(2013) = -3171.91*2013^417.54 = 85.28

85.28 - 0.25 = 85.03 ; 85.28 + 0.25 = 85.53

Интервальный прогноз:

t = 2013: (85.03;85.53)

Точечный прогноз, t = 2014: y(2014) = -3171.91*2014^417.54 = 104.93

104.93 - 0.25 = 104.68 ; 104.93 + 0.25 = 105.18

Интервальный прогноз:

t = 2014: (104.68;105.18)

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Уравнение тренда

Вместе с этой задачей решают также:

Уравнение регрессии

Уравнение множественной регрессии

Показатели вариации

Показатели динамики

Онлайн сдача дистанционных тестов

Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y = a₀ e^a₁^t (ln y = ln a₀ + a₁t)

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y • t

t	ln(y)	t²	y²	t y
	1.16		1.34	2311.45
	1.46		2.13	2920.41
	1.73			3466.85
	1.93		3.73	3862.07
	2.25		5.05	4500.75
	2.51		6.31	5033.23
	2.66		7.1	5339.55
	2.89		8.38	5804.09
	3.03		9.16	6071.65
	3.19		10.18	6403.29
	3.41		11.61	6842.95
	3.61		13.05	7256.5
	3.78		14.29	7597.52
	3.88		15.04	7798.35
	37.5		110.38	75208.67

Для наших данных система уравнений имеет вид:

14a₀ + 28063a₁ = 37.5

28063a₀ + 56252511a₁ = 75208.67

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = -414.152, a₁ = 0.208

Уравнение тренда:

y = 0e^0.208t

Коэффициент тренда b = 0.208 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 0.208.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Эмпирическое корреляционное отношение.

где

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t существенно влияет на y.

Индекс детерминации.

т.е. в 98.88% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)

t	y	y(t)	(y-y_cp)²	(y-y(t))²	(y-y(t)) : y
	1.16	1.33	2.31	0.0288	0.15
	1.46	1.53	1.48	0.00543	0.0504
	1.73	1.74	0.89	8.3E-5	0.00526
	1.93	1.95	0.56	0.000417	0.0106
	2.25	2.16	0.19	0.00804	0.0399
	2.51	2.37	0.0274	0.0215	0.0583
	2.66	2.57	0.000192	0.00812	0.0338
	2.89	2.78	0.0469	0.0127	0.0389
	3.03	2.99	0.12	0.00133	0.0121
	3.19	3.2	0.26	5.9E-5	0.00241
	3.41	3.41	0.53	3.0E-6	0.000504
	3.61	3.61	0.87	4.0E-6	0.000574
	3.78	3.82	1.21	0.00178	0.0112
	3.88	4.03	1.44	0.0231	0.0392
		37.5	9.95	0.11	0.45

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Стандартная ошибка уравнения.

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Uy = y_n+L ± K

где

По таблице Стьюдента находим Tтабл

T_табл (n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 2.179

Точечный прогноз, t = 2012: y(2012) = -414.15 e^0.21*2012 = -2.0974983267339E+184

-2.0974983267339E+184 - 0.24 = -2.0974983267339E+184 ; -2.0974983267339E+184 + 0.24 = -2.0974983267339E+184

Интервальный прогноз:

t = 2012: (-2.0974983267339E+184;-2.0974983267339E+184)

Точечный прогноз, t = 2013: y(2013) = -414.15 e^0.21*2013 = -2.5823317287601E+184

-2.5823317287601E+184 - 0.25 = -2.5823317287601E+184 ; -2.5823317287601E+184 + 0.25 = -2.5823317287601E+184

Интервальный прогноз:

t = 2013: (-2.5823317287601E+184;-2.5823317287601E+184)

Точечный прогноз, t = 2014: y(2014) = -414.15 e^0.21*2014 = -3.1792336005078E+184

-3.1792336005078E+184 - 0.25 = -3.1792336005078E+184 ; -3.1792336005078E+184 + 0.25 = -3.1792336005078E+184

Интервальный прогноз:

t = 2014: (-3.1792336005078E+184;-3.1792336005078E+184)

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Уравнение тренда

Вместе с этой задачей решают также:

Уравнение регрессии

Уравнение множественной регрессии

Показатели вариации

Показатели динамики

Онлайн сдача дистанционных тестов

Гиперболическое уравнение тренда имеет вид y = a₁/t + a₀

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑1/t = ∑y

a₀∑1/t + a₁∑1/t² = ∑y/t

1/t	y	t²	y²	t y
0.000501	3.18		10.11	0.00159
0.0005	4.31		18.58	0.00216
0.0005	5.66		32.04	0.00283
0.0005	6.89		47.47	0.00344
0.0005	9.47		89.68	0.00473
0.000499	12.34		152.28	0.00616
0.000499	14.36		206.21	0.00717
0.000499	18.08		326.89	0.00902
0.000499	20.63		425.6	0.0103
0.000498	24.3		590.49	0.0121
0.000498	30.2		912.04	0.015
0.000498	37.04		1371.96	0.0184
0.000498	43.81		1919.32	0.0218
0.000497	48.32		2334.82	0.024
0.00698	278.59	3.0E-6	8437.48	0.14

Для наших данных система уравнений имеет вид:

14a₀ + 0.00698a₁ = 278.59

0.00698a₀ + 3.0E-6a₁ = 0.14

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 19.872, a₁ = 55.621

Уравнение тренда:

y = 55.621 / t + 19.872

Коэффициент тренда b = 55.621 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 55.621.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

Эмпирическое корреляционное отношение.

где

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t умеренно влияет на y.

Индекс детерминации.

т.е. в -0% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - низкая.

Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)

t	y	y(t)	(y-y_cp)²	(y-y(t))²	(y-y(t)) : y
0.000501	3.18	19.9	279.53	279.54	5.26
0.0005	4.31	19.9	243.03	243.03	3.62
0.0005	5.66	19.9	202.76	202.76	2.52
0.0005	6.89	19.9	169.24	169.24	1.89
0.0005	9.47	19.9	108.77	108.77	1.1
0.000499	12.34	19.9	57.14	57.14	0.61
0.000499	14.36	19.9	30.68	30.68	0.39
0.000499	18.08	19.9	3.31	3.31	0.1
0.000499	20.63	19.9	0.53	0.53	0.0354
0.000498	24.3	19.9	19.37	19.37	0.18
0.000498	30.2	19.9	106.1	106.11	0.34
0.000498	37.04	19.9	293.8	293.81	0.46
0.000498	43.81	19.9	571.72	571.73	0.55
0.000497	48.32	19.9	807.74	807.74	0.59
		278.59	2893.73	2893.76	17.63