Действия над комплексными числами

1. При сложении двух комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и мнимые части:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i. (1)

2. При умножении двух комплексных чисел получается комплексное число:

z₁z₂ = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i, (2).

3. При делении двух комплексных чисел получается комплексное число:

, (3).

@ Задача 1. Найти сумму двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 6i.

Решение: Комплексные числа суммируются по правилу (1): (2 + 3i) + (– 4 + 6i) = (2 – 4) + (3 + 6)i = – 2 + 9i.

@ Задача 2. Найти произведение двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 5i.

Решение: Комплексные числа умножаются по правилу (2):

(2 + 3i)·(– 4 + 5i) = (2·(– 4) – 3·5) + (2·5 + 3·(– 4))i = – 23 – 2i.

@ Задача 3. Найти частное двух комплексных чисел 2 + 4i и 1 + i.

Решение: Комплексные числа делятся по правилу (3):

.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой A(a,b) плоскости, такой что a = Rez, а b = Imz. Тогда a и b можно выразить через полярные координаты r и j: a = rcosj, b = rsinj, где r и j называются модулем и аргументом комплексного числа.

Таким образом, комплексное число z = a + bi можно представить в тригонометрической форме

.

Экспоненциальной формой комплексного числа называется число .

@ Задача 4. Представить в тригонометрической форме комплексное число .

Решение: Так как , то комплексное число представляется в тригонометрической форме в виде

.

Корни квадратного и биквадратного уравнений

Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с отрицательным дискриминантом D = b² – 4ac < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам .

Корни биквадратного уравнения x⁴ + px² + q = 0 с отрицательным дискриминантом D = p² – 4q < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам:

,

.

@ Задача 5. Решить квадратное уравнение x² – 4x + 8 = 0.

Решение: Дискриминант квадратного уравнения отрицательный: D = 4² – 4×8 = – 16 < 0 и, следовательно, корни квадратного уравнения равны .

@ Задача 6. Решить биквадратное уравнение

x⁴ – 4x² + 16 = 0.

Решение: Дискриминант биквадратного уравнения отрицательный: D = 4² – 4×16 = – 48 < 0. Т.к. и , то и .

§1.7 Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Выпуклые множества и их свойства.

В n-мерном пространстве задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа x_i, что

Tочку O и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости (n = 2) координату x₁ называют абсциссой, а x₂ – ординатой точки M. В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.