Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 означает равенство их действительных и мнимых частей: Действия над комплексными числами - student2.ru .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алге-браической форме определяются следующим образом. Если z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, то

1) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);

2) z1 – z2 = (x1 – x2) + i(y1 – y2);

3) z1 z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + х2y1);

4) Действия над комплексными числами - student2.ru .

Пример. Даны числа z1 = 4 – i и z2 = 1 + 3i. Вычислить Действия над комплексными числами - student2.ru .

Найдем Действия над комплексными числами - student2.ru , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

Действия над комплексными числами - student2.ru

(при вычислениях учтено, что Действия над комплексными числами - student2.ru ).

Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если Действия над комплексными числами - student2.ru , то

1) Действия над комплексными числами - student2.ru

2) Действия над комплексными числами - student2.ru , если r2 ¹ 0;

если Действия над комплексными числами - student2.ru то

3) Действия над комплексными числами - student2.ru (15)

4) Действия над комплексными числами - student2.ru .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного
результата, заключенные в промежутке Действия над комплексными числами - student2.ru .

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы 3

Задача 1. Даны функции Действия над комплексными числами - student2.ru

Действия над комплексными числами - student2.ru

Требуется:

1) используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f (x) и g (x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;

2) составить сложные функции y = f ( g ( x )) и y = g ( f ( x ));

3) для функции y = f ( x ) найти обратную функцию y = f –1( x ),
построить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе
координат и записать их ООФ и ОЗФ.

Задача 2. Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы обесконечно малых и бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения предела.

а) Действия над комплексными числами - student2.ru ; б) Действия над комплексными числами - student2.ru

в) Действия над комплексными числами - student2.ru ; г) Действия над комплексными числами - student2.ru .

Задача 3. Исследовать непрерывность функций в соответствии с зада-ниями.

а) Проверить, является ли функция Действия над комплексными числами - student2.ru непрерывной в точках х1 = 0 и х2 = 3. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический чертеж в окрестности точки разрыва.

б) Построить график функции Действия над комплексными числами - student2.ru используя график, записать промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип каждого из них.

Задача 4. Даны уравнение Действия над комплексными числами - student2.ru , комплексное число Действия над комплексными числами - student2.ru и натуральное число n = 6. Требуется:

1) найти корни уравнения z1, z2 на множестве комплексных чисел;

2) найти комплексное число Действия над комплексными числами - student2.ru в алгебраической форме;

3) получить тригонометрическую форму числа z0 и вычислить с ее помощью Действия над комплексными числами - student2.ru . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.

Действия над комплексными числами - student2.ru Решение задачи 1

1) Строим графики заданных функций,
используя известные графики основных элементарных функций и простейшие преобразования графиков.

Для построения графика Действия над комплексными числами - student2.ru в качестве исходного используем график функции y = log3 x, для которой ООФ: х > 0, у(1) = 0, у(3) = 1, y(1/3) = –1 (рис. 13).

График функции Действия над комплексными числами - student2.ru получаем из исходного графика Действия над комплексными числами - student2.ru в соответствии
с преобразованием графиков

Действия над комплексными числами - student2.ru

(перенос графика на а единиц в направлении
оси Ох). В данном случае график перемещаем
на 0,5 единиц вправо (рис. 14).

Для функции Действия над комплексными числами - student2.ru ООФ: х > 0,5, у(1,5) = 0, у(3,5) = 1.

График Действия над комплексными числами - student2.ru получаем из графика Действия над комплексными числами - student2.ru
в соответствии с преобразованием графиков Действия над комплексными числами - student2.ru
(перенос графика на А единиц в направлении оси Oу). В данном случае график перемещаем на 2 единицы вверх (рис. 15).

Для построения графика Действия над комплексными числами - student2.ru в качестве исходного используем график функции Действия над комплексными числами - student2.ru (рис. 16).

Действия над комплексными числами - student2.ru График функции Действия над комплексными числами - student2.ru получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков Действия над комплексными числами - student2.ru (сжатие графика в а раз в направлении оси Ох). В данном случае график сжимаем в 2 раза (рис. 17).

График функции Действия над комплексными числами - student2.ru получаем из графика функции Действия над комплексными числами - student2.ru в соответствии с преобразованием графиков Действия над комплексными числами - student2.ru , Действия над комплексными числами - student2.ru (растяжение графика
в А раз в направлении оси Оу). В данном случае график растягиваем в 3 раза (рис. 18).

Опишем при помощи пост-роенных графиков основные характеристики функций Действия над комплексными числами - student2.ru
и Действия над комплексными числами - student2.ru в виде таблицы.

Таблица 2

Характеристика Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
ООФ (область определения функции) Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
ОЗФ (область значений функции) Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru

Окончание табл. 2

Характеристика Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Нули функции Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Четность Общего вида Нечетная
Периодичность Непериодическая Периодическая с Действия над комплексными числами - student2.ru
Промежутки монотонности Действия над комплексными числами - student2.ru при Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru при Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru при Действия над комплексными числами - student2.ru
Точки экстремумов, экстремумы функции Экстремумов нет Действия над комплексными числами - student2.ru – точки min, Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru – точки max, Действия над комплексными числами - student2.ru

2) Составим сложную функцию Действия над комплексными числами - student2.ru для Действия над комплексными числами - student2.ru , Действия над комплексными числами - student2.ru , подставив в f (x) вместо аргумента х функцию g(x): Действия над комплексными числами - student2.ru .

Аналогично составляем сложную функцию Действия над комплексными числами - student2.ru : Действия над комплексными числами - student2.ru , т. е. Действия над комплексными числами - student2.ru .

3) Находим обратную функцию для функции Действия над комплексными числами - student2.ru .
Так как функция является монотонно возрастающей на всей своей ООФ
(рис. 15), то для нее существует обратная функция Действия над комплексными числами - student2.ru . Чтобы записать ее аналитическое выражение, решим уравнение Действия над комплексными числами - student2.ru относительно х, т. е. получим выражение Действия над комплексными числами - student2.ru :

Действия над комплексными числами - student2.ru .

Переобозначив аргумент обратной функции через х, а функцию через у, получим: Действия над комплексными числами - student2.ru – функцию Действия над комплексными числами - student2.ru .

Для функции Действия над комплексными числами - student2.ru ООФ: Действия над комплексными числами - student2.ru , ОЗФ: Действия над комплексными числами - student2.ru (табл. 2); для функции Действия над комплексными числами - student2.ru ООФ: Действия над комплексными числами - student2.ru , ОЗФ: Действия над комплексными числами - student2.ru (для взаимно обратных функций промежутки ООФ и ОЗФ меняются ролями).

Действия над комплексными числами - student2.ru Построим графики обеих взаимно обратных функций Действия над комплексными числами - student2.ru и Действия над комплексными числами - student2.ru , контролируя их симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 19).

Ответы:

1) рис. 15, 18, табл. 2; Рис. 19

2) Действия над комплексными числами - student2.ru и Действия над комплексными числами - student2.ru ;

3) Действия над комплексными числами - student2.ru для Действия над комплексными числами - student2.ru ООФ: Действия над комплексными числами - student2.ru ОЗФ: Действия над комплексными числами - student2.ru для Действия над комплексными числами - student2.ru ООФ: Действия над комплексными числами - student2.ru ОЗФ: Действия над комплексными числами - student2.ru графики на рис. 19.

Решение задачи 2а

Действия над комплексными числами - student2.ru

Для раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - student2.ru при n ® ¥ использовано правило 1: в числителе и знаменателе вынесены за скобки старшие степени n. При вычислении предела учтено, что при Действия над комплексными числами - student2.ru что Действия над комплексными числами - student2.ru const = const, использованы теоремы о конечных пределах и теорема обесконечно больших функциях:

Действия над комплексными числами - student2.ru , если Действия над комплексными числами - student2.ru .

С точки зрения определения бесконечного предела последовательности Действия над комплексными числами - student2.ru полученный результат Действия над комплексными числами - student2.ru означает, что для достаточно больших значений номера n члены последовательности un
становятся сколь угодно большими по модулю.

Решение задачи 2б

Действия над комплексными числами - student2.ru

Действия над комплексными числами - student2.ru

Действия над комплексными числами - student2.ru

Действия над комплексными числами - student2.ru .

Здесь для раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - student2.ru использовано правило 2: в числителе и знаменателе выделен критический множитель (х – 2).
Для его выделения в знаменателе использовано разложение многочлена
на множители, а в числителе – домножение числителя и знаменателя
на выражение Действия над комплексными числами - student2.ru , сопряженное числителю Действия над комплексными числами - student2.ru .
При вычислении предела использованы теоремы о конечных пределах.

С точки зрения определения предела функции Действия над комплексными числами - student2.ru при Действия над комплексными числами - student2.ru полученный результат Действия над комплексными числами - student2.ru означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 2, значения функции будут становиться сколь угодно близкими к числу Действия над комплексными числами - student2.ru .

Решение задачи 2в

Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru .

Для раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - student2.ru использовано правило 2:
в числителе и знаменателе выделен критический множитель(х – 0) = х. Для его выделения использован принцип замены эквивалентных бесконечно малых.

С точки зрения определения конечного предела функции Действия над комплексными числами - student2.ru при Действия над комплексными числами - student2.ru полученный результат Действия над комплексными числами - student2.ru означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 0, значения функции будут становиться сколь угодно сколь угодно близкими к числу 0.

Решение задачи 2г

Действия над комплексными числами - student2.ru

Действия над комплексными числами - student2.ru .

При вычислении предела использовано дважды правило раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - student2.ru , образованной делением целых многочленов одинаковой степени (см. формулу (8)):

Действия над комплексными числами - student2.ru ,

а также непрерывность функции ez: Действия над комплексными числами - student2.ru .

С точки зрения определения конечного предела функции Действия над комплексными числами - student2.ru при Действия над комплексными числами - student2.ru полученный результат Действия над комплексными числами - student2.ru означает, что для достаточно больших (по модулю) значений аргумента х значения функции будут сколь угодно близкими к числу e–10.

Ответы: а) Действия над комплексными числами - student2.ru ; б) Действия над комплексными числами - student2.ru ;

в) Действия над комплексными числами - student2.ru ; г) Действия над комплексными числами - student2.ru .

Решение задачи 3а

Чтобы проверить непрерывность заданной функции Действия над комплексными числами - student2.ru в каждой из заданных точек х1 = 0 и х2 = 3, используем определение непрерывности функции в точке.

Найдем ООФ: Действия над комплексными числами - student2.ru . Проверим выполнение условия (9) поочередно в точках х1 и х2.

Точка х1 = 0:

1) х1 = 0 Î ООФ Действия над комплексными числами - student2.ru , причем окрестность точки х1 также входит
в ООФ;

2) существует конечный предел Действия над комплексными числами - student2.ru ;

3) справедливо Действия над комплексными числами - student2.ru ;

следовательно, в точке х1 = 0 заданная функция непрерывна.

Точка х2 = 3:

1) х2 = 3 Ï ООФ Действия над комплексными числами - student2.ru , следовательно, в точке х2 = 3 заданная функция не является непрерывной. Поскольку функция определена в окрестности точки х2, то эта точка является точкой разрыва функции.

Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы функции при Действия над комплексными числами - student2.ru :

Действия над комплексными числами - student2.ru ; Действия над комплексными числами - student2.ru

Действия над комплексными числами - student2.ru (при вычислении использовано предельное поведение показательной функции Действия над комплексными числами - student2.ru при Действия над комплексными числами - student2.ru ). Так как один из односторонних пределов оказался бесконечным, делаем вывод, что разрыв
в точке х2 = 3 бесконечный (разрыв 2-го рода).

Построим схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва с учетом значений односторонних пределов (рис. 20).

Решение задачи 3б

Запишем ООФ кусочно-заданной функции.

Действия над комплексными числами - student2.ru

Построим график функции Действия над комплексными числами - student2.ru , объединяя "куски" графиков
основных элементарных функций Действия над комплексными числами - student2.ru (рис. 21–24).

Действия над комплексными числами - student2.ru

Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24

Анализируя график Действия над комплексными числами - student2.ru (рис. 24), видим, что он представляет
собой непрерывную линию для всех х, кроме х = 0. Записываем промежутки непрерывности функции: Действия над комплексными числами - student2.ru и Действия над комплексными числами - student2.ru .

В точке х = 0 функция имеет разрыв типа "скачок", так как не существует Действия над комплексными числами - student2.ru , но при Действия над комплексными числами - student2.ru существуют конечные односторонние пределы функции, не совпадающие между собой:

Действия над комплексными числами - student2.ru , Действия над комплексными числами - student2.ru .

Ответы:

а) х1 = 0 – точка непрерывности функции Действия над комплексными числами - student2.ru , х2 = 3 – точка
бесконечного разрыва функции, схематический чертеж графика функции
в окрестности точки разрыва на рис. 20;

б) график функции Действия над комплексными числами - student2.ru – на рис. 24, промежутки непрерывности функции: Действия над комплексными числами - student2.ru и Действия над комплексными числами - student2.ru , х = 0 – точка разрыва типа "скачок".

Решение задачи 4

1) Найдем корни уравнения Действия над комплексными числами - student2.ru на множестве комплексных чисел:

Действия над комплексными числами - student2.ru

(здесь использовано: Действия над комплексными числами - student2.ru ).

2) Чтобы найти комплексное число Действия над комплексными числами - student2.ru , вычислим сначала Действия над комплексными числами - student2.ru :

Действия над комплексными числами - student2.ru ( Действия над комплексными числами - student2.ru – это число, сопряженное числу Действия над комплексными числами - student2.ru , т. е. Действия над комплексными числами - student2.ru ).

Затем находим числитель Действия над комплексными числами - student2.ru и знаменатель Действия над комплексными числами - student2.ru .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

Действия над комплексными числами - student2.ru – получили число w в алгебраической форме.

3) Комплексное число Действия над комплексными числами - student2.ru задано в алгебраической форме z0 = x + yi, где x = 1, y = Действия над комплексными числами - student2.ru . Получим тригонометрическую форму этого числа z0 = r (cos j + sin j), используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа Действия над комплексными числами - student2.ru и его аргумент:

Действия над комплексными числами - student2.ru

Таким образом, Действия над комплексными числами - student2.ru – тригонометрическая форма числа z0.

Для вычисления Действия над комплексными числами - student2.ru используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

Действия над комплексными числами - student2.ru

Здесь аргумент Действия над комплексными числами - student2.ru . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку Действия над комплексными числами - student2.ru , используя формулу (11): Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru при n = –1 получаем arg ( zn ) = 0. Тригонометрическая форма комплексного числа Действия над комплексными числами - student2.ru для Действия над комплексными числами - student2.ru имеет вид:

Действия над комплексными числами - student2.ru .

Подставив значения cos 0 = 1, sin 0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа: Действия над комплексными числами - student2.ru

Ответы: 1) Действия над комплексными числами - student2.ru 2) Действия над комплексными числами - student2.ru ; 3) Действия над комплексными числами - student2.ru ; Действия над комплексными числами - student2.ru

Справочный материал по теме "Дифференциальное исчисление функциЙ одной переменной"

Дифференцирование функций

Производной функции Действия над комплексными числами - student2.ru в точке х называется конечный предел отношения приращения функции Действия над комплексными числами - student2.ru к приращению аргумента Dx:

Действия над комплексными числами - student2.ru , (16)

где Действия над комплексными числами - student2.ru .

Другие обозначения производной: Действия над комплексными числами - student2.ru .

Если существует производная функции Действия над комплексными числами - student2.ru в точке х, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Дифференцирование функции – это процесс нахождения производной Действия над комплексными числами - student2.ru . При дифференцировании используют таблицу производных и правила дифференцирования.

Таблица 3

Таблица производных основных элементарных функций

Действия над комплексными числами - student2.ru    
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru
Действия над комплексными числами - student2.ru Действия над комплексными числами - student2.ru

Наши рекомендации