Тема: Действия над комплексными числами.

Цели работы: научиться производить математические операции над комплексными числами.

Краткое изложение темы.

Комплексными числами называются числа вида Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , где Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru - действительные числа, а число Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , определяемое равенством Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1) два комплексных числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru называются равными, если Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

2) суммой двух комплексных чисел Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru называется комплексное число Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

3) произведением двух комплексных чисел Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru называется комплексное число Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Запись Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru называется алгебраической формой записи комплексного числа, где Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru - действительная часть, Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru - мнимая часть комплексного числа.

Любое действительное число Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru называются комплексно-сопряженными.

Числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Аргументом комплексного числа называется угол Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru между действительной осью Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и вектором Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Записывается так: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru или Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Из определения тригонометрических функций следует, что если Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , то имеют место равенства:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Действия над комплексными числами Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru и Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , заданными в алгебраической форме:

сложение: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

вычитание: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

умножение: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

деление: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:

умножение:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

деление:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

возведение в Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru -ю степень:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru - формула Муавра,

извлечение корня Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru -ой степени

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

где Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru - арифметический корень, Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Показательная функция с комплексным показателем

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

В частности, при Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru получается соотношение

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru - формула Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями.

Показательная функция имеет период, равный Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , т.е. Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Показательная форма записи комплексного числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме:

умножение:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

деление:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

возведение в Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru -ю степень:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

извлечение корня Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru -ой степени

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

где Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru - арифметический корень, Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru формулы Эйлера.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти модуль и главное значение аргумента числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Решение:

1. Выполним деление:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

2. Найдем модуль данного числа:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

3. Найдем главное значение аргумента:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Ответ: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Пример 2. Представить в тригонометрической форме число: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Решение:

Найдем модуль числа: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Найдем главное значение аргумента:

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Значит, Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

или Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Ответ: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Пример 3. Возвести в степень Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Решение:

Представим данное число в тригонометрической форме.

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Итак, Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

По формуле Муавра получим

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Ответ: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Пример 4. Извлечь корни из комплексного числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Решение:

Представим число 1 в тригонометрической форме: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

По формуле находим

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

если Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , то Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

если Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , то Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru ,

если Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , то Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Ответ: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , то Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , то Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , то Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Пример 5. Решите уравнение Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Решение:

Введем подстановку Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , тогда

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Вычислим дискриминант Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Найдем корни уравнения Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Тогда

Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru или Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru

Ответ: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru , Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Найдите модуль и аргумент числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

2. Выполните действия: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

3. Возведите в степень по формуле Муавра Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

4. Извлеките корень Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

5. Решите уравнение Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Вариант 2.

1. Найдите модуль и аргумент числа Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

2. Выполните действия: Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

3. Возведите в степень по формуле Муавра Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

4. Извлеките корень Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

5. Решите уравнение Тема: Действия над комплексными числами. - student2.ru .

Практическая работа № 9.

Наши рекомендации