Действия над комплексными числами

Пусть даны 2 комплексных числа ,

Сумма двух компл. чисел –комплексное число . Разность:

Произведение:

Св-ва:

(коммутативность)

, ,

сущ-ет нейьральный элемент , такой, что

сущ-ет единичный элемент , такой, что ,

Для любого сущ-ет такой элемент , что

з-н ассоциативности:

-ной степенью компл. числа наз комплексное число

Деление компл. чисел:

Пр.

Лемма

Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть и даны прямоуг. и номерная с-ма координат, тогда . Тогда –тригонометрич. форма.

Переход от алгебраической формы к тригонометрич. осущ-тся по ф-ле: ,

Теорема. Пусть комплексные числа и заданы тригонометрич. формой , тогда

Следствие:

Пр.

Извлечение корня из комплексного числа

Корнем –ной степени , из компл. числа наз комплексное число , для к-рого . обознач. .

Алгебраическое ур-ние –ной степени над полем комплексных чисел имеет ровно корней – ф-ла Муавра. Корень –ной степени из комплексного числа , записанного в тригонометрической форме вычисляется по ф-ле

Вопрос №36.Дифференциальные ур-ния.

ДУ наз соотношение, связывающее независимую переменную , искомую ф. и ее производную. Если искомая ф. есть ф-я одной независимой переменной, то ДУ наз обыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в ДУ наз порядком данного ур-ния.

Общий вид ДУ –ного порядка . (1)

Ф-ия y=f(x), кот-я при подстановке в ур-е (1) обращает этоур-е в тождество, наз-ся решением этого ур-я.

ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (2) или y’=f(x,y)(3) в случае, если y’ можно выразить относительно x и y

Реш-е ур-я (3) наз-ся общим реш-ем этого ур-я.

Реш-е может получаться в неявной форме Ф(x,y,c)=0 – наз общим интегралом.

Реш-е, кот получается из общего при некотором фиксированном значении С наз частным решением. Условия, что при x=x₀ ф-ия y=y₀ наз начальным условием, кот-е позволяет из общего реш-я выделить частное.

Ур-я с разделяющимися переменными.

Ур-е вида наз ур-ем с разделяющимися переменными. Это ур-е можно записать в виде:

, домножим на :

Вычислим:

Однородные ДУ

Ф-ия f(x,y) наз однородной измерения М если имеет место тождество f(xt,yt)=t^m(x,y)

f(x,y) = x²-3xy+2y²

f(tx,ty)=(tx)²-3(tx)(ty)+2(ty)²=t²(x²-3xy+2y²)=t²f(x,y) – однородная ф-ия измерения t.

Ур-е M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 наз однородным ДУ 1-го порядка, если ф-ии M и N однородные ф-ии одного и того же измерения.

С помощью подстановки y=ux, где u – искомая ф-ия, зависящая от x, ур-е сводится к ур-ю с разделяющимися переменными.

Линейные ДУ 1-го порядка: Ур-е вида y’+p(x)y=q(x)

Для реш-я исп-ют подстановку y=uv; dy=vdu+udv

Ф-ию подбирают т.о., чтобы =0.

Метод Лагранжа.

Линейное ДУ 1-го порядка наз линейным если

Y’+py=0

Для ур-й 1-го порядка это ур-е с разделяющимися переменными. Метод Лагранжа заключается в следующем: сначала мы решаем соответственно однородное ур-е, полученная ф-ия содержит С. Для реш-я исходного ур-я подбираем С т.о., чтобы реш-е однородного ур-я давало реш-е исходного, считая С зависящей от x.

ДУ второго порядка

Общий вид: F(x,y,y’,y’’)=0. Общее реш-е содержит 2 независимые произвольные постоянные с₁ и с₂. Если заданы начальные условия y(x₀)=y₀, y’(x₀) = y’₀, то из с-мы можно найти произв постоянные с₁ и с₂, тем самым найти частное реш-е

Ур-я 2-го порядка решаются путём применения неопределённого интегрирования в след случаях:

1. Пусть

; ; ;

;

+c

2.

Положим , тогда

=> данное ур примет вид: , те получаем ур 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Однородные линейные ДУ 2-го порядкаимеет вид: ; p,q – нек действительные числа.

Искать решение в виде

λ²+pλ+q=0 – характеристическое ур-е.

1 случай: ур-е имеет 2 действит корня, λ₁≠ λ₂, тогда общее реш-е имеет вид:

2 случай: ур-е имеет 2 действит совп корня λ₁= λ₂= λ

Общее реш-е:

3 случай: корни квадратного ур-я мнимые: λ_1,2= ,

Общий вид:

Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

Т. Общее реш-е неоднородного ЛДУ 2-го порядка с пост коээф-ми равно решения соответствующего однородного ур-я и частноо реш-я исходного неоднородного ур-я.

Нахождение частного реш-я неоднородного ур-я:

1. Пусть правая часть – показательная ф-ия,

a≠0:

а) m не явл корнем характеристического многочлена, тогда частное реш-е в виде:

б) если характеристическое ур-е имеет 2 разл действ корня, один из кот-х = m, то частное реш-е в виде:

в) если корни характеристического ур-я совпадают и равны m, то частное реш-е в виде:

2. Правая часть неоднородного ур-я – тригонометрическая ф-ия

Частное реш-е в случае, когда ± ki не явл-ся корнем характеристического ур-я

Если же ki явл корнем хар-го ур-я, то частное реш-е в виде:

3. Правая часть линейного ур-я предст собой многочлен P_n(x), тогда частное реш-е в случае когла q≠0 будем искать в виде Q_n(x)

Если q=0, p≠0, тогда в виде xQ_n(x).