Примеры для самостоятельного решения

Пример 1. Студенты сдавали экзамены по математике и физике. Есть ли связь между результатами экзаменов (α = 0,01)?

: нет связи между результатами экзаменов.

Результаты экзаменов по математике	Результаты экзаменов по физике
Пять	Четыре	Три	Два
Пять
Четыре
Три
Два

Ответ: отклоняется.

Примеры 2-9. Студенты сдавали экзамены по математике, прослушав курс лекций. Через 2 года этот экзамен был повторен. Есть ли связь между результатами экзаменов? Доверительная вероятность равна p.

Результаты экзаменов сразу после лекций	Результаты экзаменов через 2 года
Пять	Четыре	Три	Два
Пять	a	f	m	s
Четыре	b	g	n	t
Три	c	h	j	x
Два	d	k	q	y

	Примеры 2 – 9
a
b
c
d
f
g
h
k
m
n
j
q
s
t
x
y
p	0,95	0,99	0,95	0,99	0,95	0,99	0,95	0,99

Глава 6. Многофункциональные статистические критерии.

Многофункциональные статистические критерии могут использоваться по отношению к самым разнообразным выборкам и позволяют решать задачи сопоставления уровней исследуемого признака, сдвигов в значении исследуемого признака и задачи сравнения распределений.

Суть многофункциональных критериев состоит в определении того, какая доля данных в выборке характеризуется интересующим исследователя эффектом, и какая доля этим эффектом не характеризуется.

Критерий Фишера

Назначение критерия. φ^* – критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок объемами n₁ и n₂ соответственно по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Он оценивает значимость различий между процентными долями этих двух выборок.

Ограничения критерия.

а) ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равна нулю;

б) ограничения на n₁ и n₂:

если n₁ = 2, то n₂ ≥ 30;

если n₁ = 3, то n₂ ≥ 7;

если n₁ = 4, то n₂ ≥ 5;

если n₁, n₂ ≥ 5, то возможны любые сопоставления.

Гипотезы:

: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.

Алгоритм подсчета φ^* – критерия.

1. Определить процентные доли лиц, у которых есть исследуемый эффект, и тех, у которых этого эффекта нет. Сделать это для выборки 1 и выборки 2.

2. Из специальной таблицы по процентным долям лиц, у которых есть эффект, для каждой из сопоставляемых долей определить значения φ₁ и φ_2, где φ₁ (φ₂) – значение, соответствующее большей (меньшей) процентной доле.

3. Эмпирическое значение φ^*_эмп вычислить по формуле:

φ^*_эмп = (φ₁ – φ₂)· .

4. Задать уровень значимости α. По таблице VIII определить значение φ^*_кр.

5. Если φ^*_эмп > φ^*_кр, то гипотеза отклоняется на уровне значимости α. Если φ^*_эмп < φ^*_кр, то гипотеза принимается на уровне значимости α.

Пример. Две группы студентов в количестве 20 человек (n₁ = 20) и 25 человек (n₂ = 25) тестировались. В первой группе с тестом справились 12 человек, во второй группе – 10 человек. Процентные доли успешных студентов в первой и второй группах 60% и 40% соответственно. Значимо ли различаются эти процентные доли при данных n₁ и n₂? Уровень значимости α = 0,05.

Решение. Сформулируем гипотезы.

: Доля лиц, справившихся с тестом, в первой группе не больше, чем во второй.

: Доля лиц, справившихся с тестом, в первой группе больше, чем во второй.

Из таблицы X приложения определяем φ, соответствующее процентным долям в каждой из групп. φ₁ (60%) = 1,772, φ₂ (40%) = 1,369.

Теперь подсчитаем эмпирическое значение по формуле:

φ^*_эмп = (φ₁ – φ₂) ,

где φ₁ – угол, соответствующий большей процентной доле;

φ₂ – угол, соответствующий меньшей процентной доле;

n₁ – объем выборки 1;

n₂ – объем выборки 2.

φ^*_эмп = (1,772 – 1,369)· = 1,34.

При уровне значимости α = 0,05 в таблице VIII приложения найдем φ^*_кр = 1,64. φ^*_эмп < φ^*_кр, следовательно, гипотеза принимается. Доля лиц, успешно справившихся с тестом, в первой группе не больше, чем во второй.