Подобие процессов переноса массы

Системы уравнений конвективной диффузии и уравнений движения не имеют общего решения. Поэтому, так же, как и в случае гидромеханических и теплообменных процессов, можно методами теории подобия найти связь между переменными, характеризующими процесс переноса в потоке фазы, в виде обобщенного (критериального) уравнения массоотдачи.

В это уравнение входят критерии подобия, учитывающие массообмен на границе фазы (подобие граничных условий) и в основной массе (ядре) фазы.

Подобие граничных условий можно установить, допуская наличие пограничного слоя, в котором перенос осуществляется только молекулярной диффузией. Количество вещества, переходящего из ядра к границе фазы, составляет:

.

То же количество вещества переносится молекулярной диффузией через пограничный слой:

.

Приравнивая выражения и проведя сокращения, получим зависимость, характеризующую подобие условий переноса на границе фазы:

.

Обозначив , запишем это уравнение в виде

.

Из этого уравнения делением левой на правую часть, сократив подобные члены и опустив знак минус, получим безразмерный комплекс, который дляподобных систем является одинаковым (одним и тем же), т.е. .

Данный комплекс величин, при выражении их в единицах одной системы, является безразмерным и в соответствии с первой теоремой подобия представляет собой критерий подобия. Этот комплекс называют диффузионным критерием Нуссельта:

.

Диффузионный критерий Нуссельта выражает отношение интенсивности переноса вещества в ядре фазы к интенсивности переноса в диффузионном пограничном подслое, где массообмен определяется молекулярной диффузией.

Из дифференциального уравнения конвективной диффузии

получаем безразмерные комплексы делением всех членов уравнения на :

;

Вычеркнув в полученных комплексах символы дифференцирования и направления, после сокращения получим диффузионный критерий Фурье:

или,чтобы исключить математические действия с малыми величинами в виде

,

и диффузионный критерийПекле

.

Равенство критериев в сходственных точках подобных систем – необходимое условие подобия неустановившихся процессов массоотдачи. Это равенство характеризует постоянство отношения изменения концентрации во времени к изменению концентрации вследствие чисто молекулярного переноса.

Критерий выражает меру отношения массы вещества, перемещаемой путем конвективного переноса и молекулярной диффузии, в сходственных точках подобных систем.

Подобие распределения концентраций и одновременно подобие скоростей в потоках соблюдается в общем случае в геометрически подобных системах при следующих условиях:

Во многих случаях вместо критерия используют отношение критериев и , которое представляет собой диффузионный критерий Прандтля:

.

В критерий входят только величины, отражающие физические свойства потока. Этот критерий характеризует постоянство отношения физических свойств жидкости (газа) в сходственных точках подобных потоков. Критерий Прандтля рассматривается как мера подобия профилей скорости и концентрации в процессах массоотдачи.

При толщина диффузионного подслоя равна толщине гидродинамического ламинарного подслоя.

Необходимой предпосылкой подобия процессов массоотдачи является соблюдение гидродинамического подобия, которое требует, чтобы в сходственных точках подобных потоков были равны не только критерии Рейнольдса, но и критерии Фруда. Критерий Фруда часто бывает удобно заменить критерием Галилея или Грасгофа , где – коэффициент объемного расширения, в которые не входит скорость потока.

Определяемой величиной при расчете массоотдачи является коэффициент ,величину которого находят из диффузионного критерия Нуссельта. Этот критерий является определяемым.

Полученные критерии подобия дают возможность найти уравнение подобия конвективной диффузии:

,

где – симплексы геометрическое подобие систем, представляющие отношения характерных геометрических размеров к некоторому определяющему размеру l₀ .

Применительно к конкретным задачам массообмена общее уравнение подобия может быть упрощено. При рассмотрении стационарных процессов из уравнения исключается критерий Фурье:

.

При вынужденном движении можно пренебречь естественной конвекцией:

или .

В условиях естественной конвекции

или .

Расчетные зависимости называются критериальными уравнениями массоотдачи. Численные значения входящих в них постоянных коэффициентов Aи показателей степенейn иmустанавливают при обработке опытных данных.