Подобие физических процессов

Рассмотрим резервуар, к которому подключён насос, выкачивающий из него жидкость. Если в начальный момент времени в резервуаре было a кубических метров жидкости и насос выкачивает из него b кубических метров жидкости в секунду, то в момент времени t в резервуаре останется a – b t кубических меторв жидкости. В момент времени a / b насос выкачает всю воду из резервуара, поэтому объём жидкости v в резервуаре в момент времени t равен a – b t, когда t ≤ a / b и равен нулю, когда t > a / b.

Величины v и t являются переменными, их значения изменяются в процессе функционирования системы, состоящей из резервуара и насоса: объём жидкости в резервуаре v характеризует состояние системы в момент времени t. Значение величины b для данной системы остаётся неизменным, но может принимать другие значения при переходе к аналогичной системе. Такие величины называются параметрами системы. Точнее, параметром будет величина b, а Величина a является начальным значением, она задаёт состояние системы в начальный момент времени. Выполняя алгебраические операции над параметрами и начальными значениями, получают новые (расчётные) параметры. В нашей задаче отношение a / b (величина промежутка времени, в течение которого насос откачивает жидкость из резервуара) представляет собой расчётный параметр. Аналогичная система состоит из таких же компонентов (резервуара и насоса), они выполняют такие же функции (насос откачивает жидкость из резервуара), но значения параметров и начальных значений у неё могут быть другими.

Параметры системы следует отличать от постоянных величин (констант). Значение константы во всех аналогичных системах одно и то же. Длина окружности и её диаметр – это параметры окружности, а отношение длины окружности к её диаметру – число 'пи' – постоянная величина. Эта величина является безразмерной. Размерности безразмерных вторичных величин относительно любых первичных величин нулевые, значения безразмерных вторичных величин не зависят от выбора единиц измерения.

Определим размерности используемых величин: , [ a ] = [объём], [ b ] = [объём] / [время], [ v ] = [объём], [ t ] = [время]. Таким образом, нам требуются лишь две единицы измерения – объёма и времени. Ими могут служить не только кубические метры и секунды. Размерность величины a совпадает с размерностью объёма, размерность b – отношение объёма ко времени, следовательно, размерностью частного a / b является время. Будем использовать значения параметров a и a / b в качестве новых единиц измерения объёма и времени соответственно. Чтобы найти значение физической величины в новой системе единиц измерения, делим её значение в исходной системе единиц измерения на значение новой единицы в исходной системе единиц измерения. Значения объёма V и времени T в новой системе единиц измерения, связанной с задачей, выражаются через значения объёма v и времени t в исходной системе единиц измерения с помощью формул:

V = v / a, T = t / ( b / a ) = t b / a

Здесь буква 'T' обозначает не символ размерности времени, а значение момента времени в системе единиц измерения, связанных с задачей; обратно:

v = V a, t = T a / b .

Подставим в формулу, выражающую зависимость объёма жидкости в резервуаре от времени вместо величин v, t их выражения через V, T. Объём жидкости v = V a в резервуаре в момент времени t = T a / b равен a – b T a / b, когда T a / b <= a / b, и равен нулю, когда T a / b > a / b:

V a = a – b T a / b, когда T a / b ≤ a / b, V a = 0, когда T a / b > a / b:

Выполнив сокращения, получим: V = 1 – T, когда T ≤ 1 и V = 0, когда T > 1.

Пусть в аналогичной системе насос выкачивает из другого резервуара b', кубических метров жидкости в секунду и в начальный момент времени в этом резервуаре было a' кубических метров жидкости. Единицами измерения объёма и времени во второй системе единиц измерения, связанной с задачей, будут величины a' и a' / b'. В момент времени t в первом резервуаре находилось v кубических метров жидкости, в системе единиц измерения, связанной с задачей, это количество равно V , V = v / a, T = t b / a. Формулы, определяющие изменение количества жидкости в системах единиц измерения, связанных с задачей, для двух резервуаров одинаковы, следовательно, в момент времени T = t b / a во второй системе единиц измерения, связанной с задачей, количество жидкости во втором резервуаре равно тому же самому значению V. Для второго резервуара связь между значениями величин в исходной системе единиц измерения и в системе единиц измерения, связанных с задачей, выглядит так:

V = v' / a' T = t' b' / a';

v' = V a' t' = T a' / b', ,

поэтому в момент времени t' = T a' / b' = t a' b / ( a b' ) количество жидкости во втором резервуаре будет равно V a' = v a' / a. Моменты времени t и t a' b / ( a b' ) называются соответствующими. Мы доказали, что количество жидкости во втором резервуаре в момент времени t', соответствующий моменту времени t, получается умножением количества жидкости в первом резервуаре в момент времени t на постоянный коэффициент a' / a. Переход от величины объёма v, характеризующей состояние первого резервуара в произвольный момент времени t, к величине v', характеризующей состояние второго резервуара в соответствующий момент времени, можно представить в таком виде:

v →V = v / a → v' = V a' = v a' / a.

t → T = t b / a → t' = T a' / b' = t a' b / ( a b' )

Состояние физической системы в каждый момент времени характеризуются набором физических величин. Последовательные изменения состояния физической системы во времени, определяемые входными и выходными величинами (параметрами и переменными) образуют протекающий в ней физический процесс.

Качественно однородные физические процессы, протекающие в двух системах, называются подобными, если значения физических величин в соответствующих точках систем в соответствующие моменты времени пропорциональны, причём коэффициенты пропорциональности не зависят от времени. Для определения соответствующих точек систем и соответствующих моментов времени переходят от исходной системы единиц измерения к системам единиц измерения, связанным с задачей. Если уравнения, описывающие протекание процессов в обеих системах в при таком переходе становятся одинаковыми, то соответствующими точками будут те точки, координаты которых в системах единиц измерения, связанных с задачей, совпадают; аналогично устанавливается соответствие между моментами времени.

Рассмотрим следующую задачу. Из пунктов A, B, расстояние между которыми равно d км одновременно выходят два туриста и начинают двигаться навстречу друг другу, первый турист идёт со скоростью u км/час, второй турист идёт со скоростью v км/час. Требуется определить зависимость расстояния между туристами от времени.

Положение туриста в момент времени t будем описывать с помощью величины, равной расстоянию туриста от пункта A со знаком плюс, если турист находится с той стороны пункта A, где располагается пункт B и со знаком минус, если турист и пункт B находятся по разные стороны от пункта A. Тогда положение первого туриста в момент времени t равно u t, положение второго туриста в момент времени t равно d – v t, а расстояние между ними равно абсолютной величине разности этих значений: s = | u t - ( d – v t ) | = | ( u + v ) t – d |

Размерностью величин d, s служит длина, размерностью t – время, размерность u и v равна отношению длины ко времени. Для измерения этих величин нам потребуется лишь две единицы измерения – единицы длины и времени. В качестве 'естественной' единицы длины, связанной с задачей, можно взять расстояние d между пунктами A, B, а в качестве единицы измерения времени – одно из отношений d / u, d / v. Будем измерять время с помощью величины d / u:

S = s / d, T = t u / d

s = S d, t = T d / u

Тогда в системе единиц измерения, связанной с задачей, в момент времени t = T d / u ( t в часах) расстояние между туристами равно | ( u + v ) T d / u - d | километров, в системе единиц измерений, связанных с задачей оно равно

| ( u + v ) T d / u - d | / d

или

| ( 1 + v / u ) T - 1 |.

Теперь уравнение

S = | ( 1 + v / u ) T - 1 |,

выражающее связь между переменными величинами в системе единиц измерения, связанных с задачей, содержит расчётный параметр v / u – отношение скоростей. Следовательно, в подобной системе отношение скоростей движения туристов должно быть таким же, как в данной системе.

В общем случае система характеризуется набором n параметров, причём размерности k из них взаимно независимы, т. е. размерность одного из них нельзя получить из размерностей остальных с помощью операций умножения и деления. Тогда с помощью этих же операций из параметров системы можно составить n – k взаимно независимых безразмерных параметров, которые называются критериями подобия (взаимная независимость параметров означает, что между ними нет функциональной зависимости, которая сохранялась бы во всех аналогичных системах). Это утверждение называется П-теоремой (читается 'пи теорема').

Для того, чтобы рассчитать характеристики проектируемой технической системы, выполнить её компьютерное моделирование, надо построить её математическую модель. Однако, функционирование реальной технической системы, как правило, не удаётся адекватно описать с помощью системы уравнений. Тогда прибегают к натурному или полунатурному моделированию. Для того, чтобы результаты, полученные в ходе исследования можно было перенести на систему-оригинал модели, процессы протекающие в модели и в её оригинале должны быть подобными. Признаком подобия модели и её оригинала служат равенства соответствующих критериев подобия. Результаты исследования модели представляют в системе единиц измерения, связанных с задачей, в этой системе единиц измерения значения величин для модели и её оригинала должны быть одинаковыми. Чтобы получить значения величин для оригинала модели, надо выполнить переход в ту систему единиц измерения, в которой заданы исходные величины.