Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов.

1.Если система векторов линейно независима, то и любая её часть также линейно независима

2. Если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима

3. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны (Векторы и называются коллинеарными, если , где (один из них линейно выражается через другой)

38. Доказать, что любая совокупность n+1 векторов n-мерного пространства линейно зависимая

Любые n+1 элементы этого пространства линейно зависимы. Разложив эти элементы по базису, получим:

где a₁₁, a₁₂,..., a_n+1,n вещественные числа.

Пусть элементы линейно независимы. Перепишем (3.4) в матричном виде:

(3.6)

где , n×n-матрицы(элементы здесь являются вектор-строками),

Так как линейно независимы, матрица A имеет обратную матрицу A^-1. Решив матричное уравнение (3.5) относительно получим :

Подставляя (3.8) в (3.6), получим:

(3.9)

Как видно из уравнения (3.9) можно представить линейной комбинацией векторов .

Следовательно векторы линейно зависимы. ■

40. Понятие базиса n - мерного векторного пространства R⁽ⁿ⁾. Разложение вектора по векторам базиса

43. Метод Жордана–Гаусса решения систем линейных уравнений

Система линейных уравнений с неизвестными называется системой с базисом, если в каждом уравнении этой системы есть неизвестная, коэффициент при которой равен единице, а в остальных уравнениях коэффициенты при этой неизвестной равен нулю.

Примером системы линейных уравнений с базисом является система вида

В этой системе неизвестные − базисные, а неизвестные − свободные.

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными, у которой выделены -й столбец и –я строка ( , – фиксированные натуральные числа, ):

(3.1)

Пусть среди всех миноров -го порядка, составленных из элементов основной матрицы системы (3.1), имеется хотя бы один отличный от нуля. Это требование обеспечит наличие у системы базиса, состоящего из неизвестных , , …, .

Рассмотрим алгоритмприведения системы (3.1) к системе с базисом:

1) по системе (3.1) заполним табл. 3.1;

2) в столбце выберем отличное от нуля число и назовём его разрешающим элементом. Пусть − разрешающий элемент;

3) переходим к построению табл. 3.2, в которой вместо неизвестного базисного элемента следует записать неизвестную а все элементы -й строки табл. 3.1 разделить на разрешающий элемент (при этом на месте разрешающего элемента в новой таблице появится 1). Вместо других элементов столбца запишем нули, а числа оставшихся незаполненными ячеек пересчитаем по правилу прямоугольника, формулы которого имеют вид:

где

Таблица 3.1

Правило прямоугольников схематично показано с помощью стрелок. Табл. 3.2 имеет вид:

Таблица 3.2