Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» теории числовых рядов является предельный признак сравнения, по распространенности применения с ним может конкурировать разве чтопризнак Даламбера.

Предельный признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru и Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Если предел отношения общих членов этого ряда равен конечному, отличному от нуля числу Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru : Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Когда применяется предельный признак сравнения?Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числители и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.

Сразу рассмотрим пример, для которого не сработал только что рассмотренный признак сравнения.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Сравним данный ряд со сходящимся рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru – сходится. Если нам удастся показать, что Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru – тоже сходится.

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .

Почему для сравнения был выбран именно ряд Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru – это не изменило бы сути дела.

Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами:
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .

Пример 11

Исследовать ряд на сходимость Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения.

Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда.

Пример 12

Исследовать ряд на сходимость Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .

1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Если есть константа, её тоже отбрасываем: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Теперь извлекаем корень: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.

2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.

3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1

Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , то есть, с расходящимся гармоническим рядом.

По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:


Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Используем предельный признак сравнения:
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .

(1) Составляем отношение общих членов.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Раскрываем в числителе скобки.
(4) Неопределенность Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru устраняем стандартным способом деления числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(5) В самой нижней строке подготавливаем Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru для внесения под корень: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
(6) В знаменателе организуем общий корень.
Примечание: на практике пункты 5,6 можно пропустить, я их очень подробно разжевал для тех, кто не очень понимает, как обращаться с корнями.
(7) Почленно делим числители на знаменатели. Помечаем члены, которые стремятся к нулю.

Пример 13

Исследовать ряд на сходимость Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения.

По мере накопления опыта решения примеров, вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.

Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Примечание: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере «заряжается» со значения Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Пример 5: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Пример 7:
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Делим числитель и знаменатель на Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 9:
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .
Используем признак сравнения:
Если Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , то Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Если Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , то Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Если Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , то Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Таким образом, для всех членов ряда выполнено неравенство Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .
Примечание: И здесь есть неформальный смысл. Доказано, что гармонический ряд расходится, следовательно, сумма его членов: Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Мы показали, что члены ряда Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru ещё больше членов ряда Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru , и совершенно понятно, что сумма ряда Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru не может быть меньше бесконечности.

Пример 11:
Сравним данный ряд с расходящимся рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Используем предельный признак сравнения:
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .

Пример 13:
Эти 3 пункта выполняем мысленно или на черновике:
1) Старшая степень знаменателя:4
2) Старшая степень числителя: 1
3) 4 – 1 = 3
Сравним данный ряд со сходящимся рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru . Используем предельный признак сравнения:
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходитсявместе с рядом Предельный признак сравнения числовых положительных рядов - student2.ru .

Наши рекомендации