Необходимый признак сходимости числовых рядов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Понятие дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает

y - неизвестную функцию

x - независимую переменную

и - различные производные от функции y по переменной x :

.

Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок производной, которая входит в данное уравнение.

Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка.

Уравнение вида

(1)

называется линейным уравнением I-го порядка, где f(x) и g(x) - функции от независимой переменной x.

Если функция g(x) = 0, то линейное уравнение называется линейным однородным уравнением.

Если функция g(x) ¹ 0 , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением I-го порядка.

Решение данного вида уравнений ищется в виде произведений двух функций u и v:

y = u* v ; u = u(x) и v = v(x) .

подставим в (1) y = u'* v + u* v' получим:

u'* v + u* v' + f(x)* u*v = g(x) ,

u'* v + u* (v' + f(x)*v) = g(x) (*)

Ищем неизвестную функцию v из условия: содержимое скобки равно нулю

v' + f(x)*v = 0 ; ; ;

; ; ;

Учитывая операцию потенцирования получаем .

Для того, чтобы найти неизвестную функцию u , возвратимся к выражению (*):

; ; ;

; ;

;

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида , где - числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Чтобы найти общее решение данного уравнения, составляют характеристическое уравнение, которое имеет следующий вид

1. 2 различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

.

2. . Общее решение .

3. корни комплексные . .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение вида

, где

- числа,

- функция от переменной .

Решение данного уравнения будем искать в следующем виде

, где

- общее решение соответствующего однородного уравнения

.

- частное решение неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения будем использовать следующую таблицу:

Вид	Корни характеристического уравнения	Вид решения
	1) . 2) . 3) или .	1) . 2) . 3) .
	1) .   2) или .	1) 2) - кратность для характеристического уравнения (сколько раз является корнем).
	1) - корень;   2) - не является корнем.	1) - кратность 2)

РЯДЫ.

Пусть дана последовательность чисел

Числовым рядомназывается выражение вида

(1).

Числа - члены ряда.

Выражение - формула n-го члена.

Необходимый признак сходимости числовых рядов.

Теорема:Если ряд сходится, то предел общего члена

Достаточные признаки сходимости:

Теорема 1 (признак сравнения):Пусть даны 2 положительных ряда:

(1) и

. (2)

Если между членами этих рядов выполняется неравенство , то из сходимости ряда (2) будет следовать сходимость ряда (1) и из расходимости ряда (1) будет следовать расходимость ряда (2) .

Теорема 2 (признак Даламбера):

Если для положительного ряда выполняется следующее условие , то если l < 1 - ряд будет сходиться,

если l > 1 - ряд будет расходиться.

Теорема 3 (признак Коши):

Если для положительного ряда выполняется следующее условие , то если l < 1 - ряд будет сходиться,

если l > 1 - ряд будет расходиться.

Теорема (признак Лейбница) Если в знакочередующемся ряде все члены таковы, что

и , то числовой ряд сходится.

Степенные ряды.

Ряд вида (1), где

- числа, а

- переменная, называется степенным рядом.

Теорема 2: Если для ряда (1) существует , то радиус сходимости степенного ряда .

Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

, , (10.4)

, , (10.5)

, , (10.6)

,

(10.7)

, , (10.8)

, , (10.9)

, , (10.10)

, (10.11)

, (10.12)

, , (10.13)

, . (10.14)