Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1: пусть даны два знакоположительных ряда Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru и Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru . Если для всех n выполняется неравенство un≤vn, то из сходимости ряда Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru следует сходимость ряда Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru , из расходимости Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru следует расходимость ряда Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru .

Доказательство 1: обозначим n-е частичные суммы рядов Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru и Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru соответственно через S(u)n и S(v)n. Из неравенства un≤vn следует, что S(u)n ≤ S(v)n. Пусть ряд и Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru сходится и его сумма равна S2. Тогда Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru = S2.Члены ряда Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru положительны, поэтому S(v)n< S2 и, следовательно, с учетом неравенства S(u)n ≤ S(v)n, S(u)n ≤ S2. Таким образом, последовательность S(u)1, S(u)2, S(u)n,… монотонно возрастает (un>0) и ограниченно сверху числом S2. По признаку существования предела последовательность {S(u)n}имеет придел Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =S1, т.е. ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru сходится. Пусть теперь ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =∞. Тогда, с учетом неравенства S(u)n ≤ S(v)n, получаем Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =∞, т.е. ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru расходится.

Теорема 2 (предельный признак сравнения): пусть даны два знакоположительных ряда Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru и Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru . Если существует конечный, отличный от 0, предел Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =A (0<A<∞), то ряды Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru и Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство 2: по определению предела последовательности для все n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого ε>0 выполняется неравенство |un/vn-A|<ε, или (А-ε)vn<un<(A+ε)vn. Если ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru сходится, то из левого неравенства (А-ε)vn<un<(A+ε)vn и теоремы 1 вытекает, что ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов, ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru сходится. Если ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru расходится, то из правого неравенства (А-ε)vn<un<(A+ε)vn, теоремы 1, свойства 1, вытекает, что и ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru расходится. Аналогично, если ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru .

Признак Даламбера.

Теорема: пусть дан ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =u1+u2+…+un+… с положительными членами и существует
конечный или бесконечный предел Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =ℓ. Тогда ряд сходится при ℓ<1 и расходится при ℓ>1.

Так как Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =ℓ, то по определению предела для любого ε>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется нера-
венство |un+1/un-ℓ|<ε или ℓ-ε<un+1/un<ℓ+ε.

Пусть ℓ<1. Можно подобрать ε так, что число ℓ+ε<1. Обозначи
м ℓ+ε=q, q<1. Тогда из правой части неравенства |un+1/un-ℓ|<ε или ℓ-ε<un+1/un<ℓ+ε получим un+1/un<
q, или un+1/<qun,n>N. В силу свойства 3 числовых рядов
можно считать, что un+1/<
qun
для всех n = 1,2,3,... Давая номеру n
эти значения, получим серию неравенств, т.е. члены ряда u2+u3+u4+…+un+… меньше соответствующих членов ряда qu1+q2u1+q3u1+…+qn+1u1+…, который сходится как ряд геометрической прогресии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд u2+u3+u4+…+un+…, следовательно сходится и исходный ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =u1+u2+…+un+…

Пусть ℓ>1. В этом случае Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =ℓ>1. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство un+1/un>1, или un+1>un, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru ≠0. На основании следствия из необходимого признака ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =u1+u2+…+un+… расходится.

Замечания: 1. Если ℓ=1, то ряд Признаки сравнения для положительных числовых рядов - student2.ru =u1+u2+…+un+… может быть как сходящимся, так и расходящимся. 2. Признак Даламбера целесообразен применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или an.

Наши рекомендации