Первый признак сравнения рядов

Пусть и – два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Второй признак сравнения.

Пусть и – знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Третий признак сравнения.

Пусть и – знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Признак Даламбера.

Пусть – знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Радикальный признак Коши.

Пусть – знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание.

Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши.

Пусть – знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале [a; +∞), где a ≥ 1). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

Исследовать сходимость рядов:

1)

2)

3)

4)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Признаки сходимости.

2. Радиус и область сходимости.

3.

Практическая работа №17
Тема: Разложение функций в ряд.

Цель: Научиться раскладывать функцию в степенной ряд и применять его для приближенных вычислений с заданной точностью.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Если функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

,

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

, a < ξ < x.

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f(x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

, −1 < x ≤ 1.

Ряд Фурье.

Говорят, что функция f(x) имеет период P, если f(x+P) = f(x) для всех значений x. Пусть период функции f(x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π].

1. Предположим, что функция f(x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π,π]. При этом является конечным, так называемый интеграл Дирихле: ;

2. Предположим также, что функция f(x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).

Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f(x) существует и сходится к данной функции.

Ряд Фурьефункции f(x) представляется в виде ,

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами

, , .

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции f(x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид

,

где коэффициенты Фурье определяются выражениями , .

Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f(x), имеющей период 2π, содержит только синусы и имеет вид ,

где коэффициент равен .

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

1) Используя разложение в ряд Маклорена, вычислите с точностью до .

2) Разложить в ряд Фурье .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Ряд Тейлора и Маклорена.

2. Ряд Фурье.

3.