Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0 называется предел:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ,

где Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , и Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru произвольным образом.

Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z0 и некоторой ее окрестности, называют аналитической,или регулярной функцией в точке z0.

Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции.

Для того, чтобы функция f (z) = u(x,y) +iv(x,y) была аналитической в области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , (10)

называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.

Пример 5. Проверить аналитичность ФКП Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Þ u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 6. Проверить аналитичность ФКП Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Выделим действительную и мнимую части функции:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0,0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru аналитическая при Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 7. Вычислить значение производной функции Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru в точке

z0 = – 1+ i.

Функция Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru

Следовательно, Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Задача 1. Даны уравнение Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , комплексное число Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru и натуральное число n = 6. Требуется:

1) найти корни уравнения z1, z2 на множестве комплексных чисел;

2) найти комплексное число Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru в алгебраической форме;

3) получить тригонометрическую форму числа Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru и вычислить с ее помощью Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.

Решение задачи 1.

1) Найдем корни уравнения Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru на множестве комплексных чисел:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru

(здесь использовано: Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ).

2) Чтобы найти комплексное число Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , вычислим сначала Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru :

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ( Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru – это число, сопряженное числу Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , т.е. Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ).

Затем находим числитель Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru и знаменатель Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru

– получили число w в алгебраической форме.

3) Комплексное число Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru задано в алгебраической форме Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , где x = 1, y = Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru . Получим тригонометрическую форму этого числа

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru и его аргумент:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru

Таким образом, Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru – тригонометрическая форма числа z0.

Для вычисления Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Здесь аргумент Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , используя формулу (11): Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru при n = – 1 получаем Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru . Тригонометрическая форма комплексного числа Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru для Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru имеет вид:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Подставив значения cos0 = 1, sin0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа: Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru

Ответы: 1) Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru 2) Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ; 3) Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ;

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru = 64.

Задача 2. Дана функция комплексной переменной Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

1) представить функцию в виде w = u(x,y) +iv(x,y), выделив ее действительную и мнимую части;

2) проверить, является ли функция w аналитической;

3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru

Получили: Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru . Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru – аналитическая при Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

3) Найдем производную функции:

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru

Ответы:

1) Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ;

2)функция Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru аналитическая при Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru ;

3) Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП - student2.ru .

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.

4. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М. : Высш. шк., 2007.– 479 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 304 с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М. : Высш. шк., 2001.– 304 с.

8. Кручкович Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики: учебное пособие для втузов. / Г.И. Кручкович [и др.], под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1970.– 512 с.

Наши рекомендации