Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy, (10)

где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. число, для которого выполнено равенство Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.

Если у = 0, то комплексное число z = x + i0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.

На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й степени вида Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , где ak – числа, Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru ,имеет ровно n корней.

Пример1. Решим уравнение: х2 + 9 = 0.

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М(х; у) или радиус-вектором этой точки Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru (рис. 12), где х = Rez – действительная часть числа z, у = Imz – мнимая часть числа.

Число Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru называется сопряженным комплексному числу Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru . Геометрически точки z и Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru симметричны относительно оси Ох (рис. 12).

Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru . Геометрически модуль комплексного числа Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru – это модуль вектора Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru (рис. 12).

Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комплексного числа.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru . Значение аргумента, заключенное в промежутке Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , называется главным значением аргумента и обозначается argz, тогда можно записать: Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru (11)

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.

Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической формой комплексного числа.

Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа: Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , (12)

где Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru . (13)

Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru (14)

Пример 2. Получим тригонометрическую форму комплексного числа

z = –2–2i,

используя формулы (13) и (14).

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru ,

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru ,

следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru имеет вид:

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z1= x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 означает равенство их действительных и мнимых частей: Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z1= x1 + iy1,

z2 = x2 + iy2, то

1) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);

2) z1 – z2 = (x1 – x2) + i(y1 – y2);

3) z1 z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + х2y1);

4) Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Пример 3. Даны числа z1= 4 – i и z2 = 1 + 3i. Вычислить Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Найдем Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru

(при вычислениях учтено, что Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru ).

Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , то

1) Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru ;

2) Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru ;

если Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru , то

3) Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru ; (15)

4) Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. - student2.ru .

Наши рекомендации