Дифференцирование функций

Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда при-ращение аргумента стремится к нулю:

где

Производная обозначается у', y'(x), y'_x.

Правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда C' = 0,

Производная сложной функции y = f(u(x)). Если функция u = u(x) дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируемая в соответствующей точке u = u(x), то сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна

Таблица производных

1.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. ( 9.

10.

11.

12. 13.

14.

Функция неявно задана уравнением если для всех выполняется равенство

Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно f'(x)

Производные и дифференциалы высших порядков.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной , т.е. . Аналогично определяются производные более высоких порядков .

Дифференциалы высших порядков функции (x – независимая переменная) вычисляются по формулам

.

Если функция задана параметрически соотношениями , причем , то ее первая и вторая производные находятся по формулам:

.6.3.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то существует хотя бы одна точка такая, что .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что (формула Лагранжа).

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и , то существует точка такая, что (формула Коши).

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей и ).

Пусть – окрестность точки с выброшенной точки .

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы на ; .

Если и (или и ), то при условии, что сущест-вует предел отношения производных.

Замечания:1. Аналогичная теорема справедлива и в случае .

2. Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.

3. Неопределенности вида или алгебраическими пре-образованиями функции приводятся к неопределенности вида или , и далее применяется правило Лопиталя.

4. В случае неопределенности вида , или , или следует прологарифмировать функцию и предварительно найти предел ее логарифма.