Производные и дифференциалы второго и высшего порядков.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции y=f(x) в точке х (a; b) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f(x) в этой точке.

Дифференциалом п-ного порядка от функции f(x) в точке x называется дифференциал от дифференциала (п–1)-го порядка функции f(x) в этой точке:

d y=d(d y), где d y=f d .

Производная второго порядка-производная от производной этой функции

Производной n-го порядка функции f(x) наз. производная от производной функции f(x) (n-1)-го порядка (x)

Асимптоты функции, их виды, правила нахождения

Асимптоты-линии, к которым график функции неограниченно приближается при стремлении х к бесконечности

1) Вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва функции и на границе области определения

2) Наклонные асимптоты имеют вид y=kx+b

Горизонтальные асимптоты

Вертикальная асимптота существует в точках разрыва функции, т. е. в точках, в которых знаменатель дроби равен нулю

Чтобы найти горизонтальную или наклонную асимптоты нужно числитель дроби разделить на знаменатель, т.е. выделить целую часть.

В результате получается:

-если степень числителя меньше степени знаменателя, то y=0 – горизонтальная асимптота;

-если степень числителя равна степени знаменателя, то y=b – горизонтальная асимптота (b = отношению коэффициентов при высших степенях);

Е-сли степень числителя на 1 больше степени знаменателя, то y=kx+b – наклонная асимптота (kx+b – целая часть дробно-рациональной функции).

Критические точки, экстремум функции, промежутки возрастания, убывания.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции у=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка минимума функции, а если с минуса на плюс,-то точка минимума

Если функция возрастает на некотором промежутке Х, то производная неотрицательна на этом промежутке: f′(x) 0

Если функция убывает на некотором промежутке Х, то производная отрицательна на этом промежутке: f′(x) 0

Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба. Схема исследования

Функции

Кривая называется выпуклой на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой на интервале (а, b), если все ее точки лежат выше любой ее касательной на этом интервале

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Схема исследования функции

1) Область определения функции.

Координаты точек пересечения с осями координат.

Четность, нечетность функции.

4) Асимптоты графика и пределы на ±∞. (Если они имеются).

Критические точки.

Интервалы монотонности и точки экстремума.

Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. (Если они имеются).