Производные и дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференцируемую на множестве Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru функцию Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru и её производную Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru . Производная Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru является в свою очередь некоторой функцией аргумента Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru . Если производная – дифференцируемая функция на множестве Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , то по отношению к ней снова можно ставить вопрос о нахождении производной. Назовем Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru производной первого порядка или первой производной.

Производную от производной функции Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru называют производной второго порядка или второй производной и обозначают так: Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , или Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , или Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т.д.

Аналогично производной n-ого порядка от функции Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru называется производная от производной (n-1)-ого порядка, т.е.

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Обозначается n-ая производная так: Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , или Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , или

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков. Все они получаются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример 1. Найти производные второго порядка от функций

1. Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

2. Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Решение.

1. Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru
Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

2. Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru
Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Пример 2. Найти Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , если Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Решение.

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Применение производной. Правило Лопиталя.

Способ раскрытия неопределенностей вида Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru или Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru при помощи производных называют обычно «правилом Лопиталя» (Лопиталь Гильом Франсуа (1661-1704 гг.) – французский математик).

Теорема. Пусть функции Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru и Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru дифференцируемы в некоторой окрестности точки Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , кроме, может быть, самой точки Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , и пусть Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru в этой окрестности. Если Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru или Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , и при этом существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru при Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , то Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Итак, правило Лопиталя утверждает, что предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Эта теорема справедлива также для односторонних пределов и в случае, когда Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Таки образом, непосредственно правило Лопиталя используется лишь при раскрытии неопределенностей вида Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru или Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru . Тем не менее, к этому виду неопределенностей можно сводить неопределенности других видов.

Пример 1. Найти Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Решение. Если в заданное отношение подставим Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru , то получим неопределенность вида Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru . Применим правило Лопиталя.

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Пример 2. Найти Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Решение. Имеем неопределенность вида Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru . Применим правило Лопиталя.

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Заметим, что применять правило Лопиталя можно неоднократно. Следует так же комбинировать правило Лопиталя с любыми другими приемами вычисления пределов. В случае неоднократного применения правила Лопиталя следует выполнить все возможные упрощения в выражении, полученном на предыдущем шаге.

Пример 3. Найти Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Решение. Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Пример 4. Найти Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Решение. Имеем неопределенность вида Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru

Производные и дифференциалы высших порядков. - student2.ru .

Наши рекомендации