Производные и дифференциалы высших порядков

Производная Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru функции Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , очевидно, зависит от x, т.е. Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru есть также функция аргумента x и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , т.е. производная от производной, называется второй производной и обозначается Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru :

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Часто вместо Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru применяют символ Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru :

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Аналогично определяется третья производная, или производная третьего порядка– как производная от второй производной: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru и т.д. Таким образом, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n – 1)-го порядка:

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Рассмотрим примеры:

1) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

2) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

3) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ,

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , ..., Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

4) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ,

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , ..., Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Аналогичным образом определяются дифференциалы второго, третьего и более высоких порядков:

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , ...

Можно показать, что

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , ... .

Лекция 4. Применение производных
в исследовании функций

4.1. Основные теоремы дифференциального
исчисления

1. Теорема Ферма.Пусть функция Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru определена на интервале Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . Тогда если в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru существует производная этой функции, она равна нулю:

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда функция имеет в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru наибольшее значение (для наименьшего значения доказательство аналогично). В этом случае для всех Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru выполняется неравенство Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , что означает

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

для любой точки Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Если Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , то

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (1)

Если Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , то

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (2)

Но из условия теоремы производная в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru существует, тогда, переходя к пределу при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , получаем

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ,

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Но соотношения Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru совместимы лишь в том случае, если Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если дифференцируемая функция в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru принимает наибольшее (наименьшее) значение, то касательная к графику этой функции в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru параллельна оси Ox (см. рис. 1).

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru
Рис. 1

2. Теорема Ролля. Пусть функция Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru удовлетворяет следующим трем условиям:

1) непрерывна на отрезке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

2) дифференцируема на интервале Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

3) на концах отрезка принимает равные значения: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , в которой производная функции равна нулю:

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Доказательство. Известно (см. п. 2.5), что функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию 3) они равны: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , т.е. Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru есть константа. В этом случае производная равна нулю во всех точках отрезка.

Если же Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, в некоторой точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . Тогда по теореме Ферма Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Доказательство закончено.

3. Теорема Лагранжа. Пусть функция Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

2) дифференцируема на интервале Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Тогда внутри отрезка существует такая точка Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , что справедлива формула

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (3)

Доказательство. Возьмем вспомогательную функцию

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (4)

Эта функция Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru (так как Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru непрерывна), она дифференцируема на Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru :

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , (5)

кроме того, Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru принимает на концах отрезка Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru одинаковые значения: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . Следовательно, по теореме Ролля существует такая точка Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , что Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . Но тогда (см. (5))

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ,

т.е. справедливо равенство (3). Теорема доказана.

Заметим, что из (3) непосредственно следует равенство

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (6)

Эта формула (6) называется формулой Лагранжа.

Рассмотрим пример применения формулы Лагранжа.

Пусть Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . Что больше: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru или Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . Имеем Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . В соответствии с формулой (6) при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru :

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Но Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , следовательно, Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

4. Теорема Коши.Пусть функции Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru и Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru непрерывны на Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru и дифференцируемы на Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , причем Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . Тогда существует такая точка Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru , что справедлива формула

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (7)

Доказательство этой теоремы приводить не будем.

Заметим, что теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru есть неопределенность вида« Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru », если

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (8)

Можно доказать, что в этом случае (т.е. при условии (8)) верна формула

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (9)

Формула (9) дает правило вычисления пределов Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru при условии (8). Это правило называется правилом Лопиталя.

(Заметим, что вычисление Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru называют раскрытием неопределенности вида « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ».)

Рассмотрим на примерах применение правила Лопиталя:

1) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

2) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

3) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

(Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя.)

Будем называть отношение Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru неопределенностью вида « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru », если

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru . (10)

Для раскрытия неопределенностей « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru » также применимо правило Лопиталя, т.е. при условии (10) применяется формула

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Это правило применяется также и при Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Примеры:

1) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ;

2) Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru .

Заметим, что неопределенности других видов: « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru », « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru », « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru » и т.д.* можно свести к неопределенностям « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru » или « Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru » и затем раскрыть по правилу Лопиталя.

Наши рекомендации