Производные и дифференциалы высших порядков
Определение 1. Производной второго порядка (второй производной функции) 
в точке х называется производная от ее первой производной 
при условии, что 
дифференцируема в точке х. Она обозначается такими символами:
, 
, 
, 
, 
.
Определение 2. Производной п-го порядка функции называется производная от производной (п-1) порядка:
Определение 3.Производную, для которой существует п-я производная в точке х, называют п раз дифференцируемой в этой точке.
Основные формулы вычисления производных высших порядков
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
в частности,
(6)
(7)
(8)
Основные правила вычисления производных
Если функции 
и 
п раз дифференцированы, тогда имеют место такие равенства:
1) 
(9)
2) 
(формула Лейбница)(10)
где 
Вычисление производных высших порядков функций,
Заданных параметрически
Если функция задана параметрически уравнениями 
, 
, тогда производные 
вычисляются по формулам:
и т.д. (11)
Для производной второго порядка имеет место формула:
(12)
Дифференциалы высших порядков
Определение 4. Дифференциалом второго порядка дважды дифференцируемой функции называют дифференциал от дифференциала первого порядка функции 
, т.е. 
.
В случае, когда х – независимая переменная, дифференциалы вычисляются по формулам:
………………......
(13)
Если же х — некоторая функция от t, , тогда
(14)
и т.д. (15)
Если для функций и , где х – независимая перемен-ная, существуют дифференциалы 
и 
, тогда
( 
— постоянные), (16)
(17)
Пример 1. Найти производную второго порядка функции, заданной параметрически 
Решение.
Пример 2. Найти производную второго порядка функции
Решение.Сначала находится первая производная от сложной функции:
Тогда вторая производная равняется:
Пример 3. Найти дифференциал второго порядка функции 
в точке 
.
Решение.Согласно формуле для вычисления дифференциала второго порядка 
вычисляется 
:
Упражнения к разделу 3.2
Найти производные функций:
1). 
2). 
3). 
4). 
5). 
6). 
Найти производные сложных функций:
7). 
8). 
9). 
10). 
Найти производную функций:
11). 
12). 
13). 
14). 
15). 
Найти производные функций, которые заданы неявно:
16). 
. 
17). 
. 
18). 
. 
Найти производную функции, которая задана параметрически:
19). 
20). 
21). 
Найти производные функций, логарифмируя их:
22). 
. 
23). 
. 
24). 
. 
Найти уравнение касательной и нормали к графику функции в точке 
.
25). 
. 
26). 
. 
Найти точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс:
27). 
. 
Написать уравнение касательной и нормали к кривой
28) 
в точке 
.
Найти производные второго порядка функций:
29). 
. 
30). 
. 
31). 
. 
Вычислить производные функций, заданных неявно:
32). 
. 
33). 
. 
Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.2
Найти производные функций:
1). 
2). 
3). 
4). 
5). 
6). 
7). 
8). 
9). 
10). 
11). 
12). 
13). 
14). 
15). 
16). 
17). 
18). 
19). 
20). 
21). 
22). 
23). 
24). 
25). 
26). 
27). 
28). 
29). 
30). 
