Производные и дифференциалы высших порядков

Производная Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru есть сама функция от Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru и обозначается Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru И вообще:

если известна производная Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru ( Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru порядка), то производная Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru го порядка определяется так: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru При этом функция Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru называется Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru раз дифференцируемой в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:

если известен дифференциал Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru порядка тодифференциал Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru го порядка определяется так: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru при этом дифференциал Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru независимой переменной и все его степени Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru считаются постоянными дифференцирования.

Имеем Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru И вообще, справедливо утверждение: если функция Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru дифференцируема Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru раз в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru то

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

Производные Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru порядка являются линейными операциями, т.е. Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru Производная Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru порядка для произведения Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru вычисляется довольно сложно.

Формула Лейбница.Если функции Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru дифференцируемы Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru раз в точке Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru то имеет место равенство

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

Здесь: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru число сочетаний из Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru элементов по Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru нулевая производная функции Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru совпадает с ней самой: Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru стоит произведение производных Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения:

Производные и дифференциалы высших порядков - student2.ru

Наши рекомендации