Касательная плоскость к поверхности

Рассмотрим уравнение с тремя переменными . В координат-ном пространстве оно определяет некоторую поверхность ( ).

Определение 1. Точка называется обыкновенной, если в этой точке существуют конечные производные , причем они не обра-щаются в ноль одновременно. В противном случае точка называется особой.

Определение 2. Прямая линия называется касательной прямой к поверх-ности ( ) в ее обыкновенной точке , если она является касательной к некото-рой линии, лежащей на ( ) и проходящей через точку .

Теорема. Все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.

Доказательство. Пусть линия

лежит на данной поверхности ( ): и проходит через ее точку . Это означает следующее:

1) ;

2) существует значение такое, что .

Продифференцируем тождество из пункта 1): ≡ 0.

Рассмотрим этот результат в точке :

Левая часть последнего равенства – это скалярное произведение направляющего вектора касательной к линии в точке

и вектора

,

проекции которого определяются лишь поверхностью ( ) и ее точкой , и не зависит от линии . Но равенство означает, что , т.е. все каса-тельные прямые к ( ) в ее точке перпендикулярны вектору . Это же, в свою очередь, означает, что все эти прямые лежат в одной плоскости и есть нормаль-ный вектор этой плоскости. Теорема доказана.

Определение 3. Плоскость, в которой лежат все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке, называется касательной плоскостью.

Уравнение касательной плоскости к поверхности ( ): в ее обыкновенной точке имеет вид

В случае явного задания поверхности ( ): уравнение касательной плоскости таково:

.

Определение 4. Прямая, проходящая через точку поверхности ( ) и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

Уравнения нормали (канонические):

Пример. К поверхности ( ): провести касательную плоскость , параллельную плоскости : .

Решение. Нормальный вектор касательной плоскости составлен из частных производных функции , вычисленных в точке касания:

Так как , то и, следовательно , т.е

Таким образом, точка касания такова: Но значит ее координаты удовлетворяют уравнению ( ):

.

Отсюда и Имеем две точки касания (и две касательные плоскос-ти):

и .

Уравнения касательных плоскостей

и .

После упрощения получим:

и .

Приведем ряд задач для самостоятельного решения.

1) Дана поверхность ( ): Доказать, что любая каса-тельная плоскость к ( ) образует с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.

2) Дана поверхность ( ): . Доказать, что любая касса-тельная плоскость к ( ) отсекает от координатных осей отрезки, сумма длин которых постоянна.

3) Дана поверхность ( ): где – дифференцируемая функция. Доказать, что все касательные плоскости к ( ) пересекаются в одной точке.

Лекция 20

Производные высших порядков

Если функция имеет частные производные в каждой точке некоторой области , то они представляют собой функции двух переменных, определенные в . Может случиться, что эти функции имеют в

частные производные. Тогда эти производные называются частными производ-ными второго порядка

, , , .

Используются и другие обозначения, например:

, .

Производные и называются смешанными производными второго поряд-ка. При некоторых условиях смешанные производные не зависят от порядка диф-ференцирования.

Теорема. Пусть функция имеет в области частные производные . Пусть, кроме того, смешанные производные и непре-рывны в . Тогда имеет место равенство

= .

Аналогично производным второго порядка вводятся частные производные третьего, четвертого, …, -го порядка. Для смешанных производных высших по-рядков остается справедливой сформулированная выше теорема.