Вопрос 18.2. Дифференцирование неявной функции

Очень часто необходимо искать производную неявной функции, причем в явном виде такую функцию представить удается редко. Оказывается, что можно найти выражение для производной неявной функции даже не зная ее явного вида.

Теорема 18.3. Пусть выполнены условия теоремы 18.1 и функция непрерывна и дифференцируема на прямоугольнике . Причем , тогда уравнение определяет единственную неявную дифференцируемую функцию с производной .

Доказательство. Пусть для определенности , тогда для любого фиксированного x функция монотонно возрастает по y. Из теоремы 18.2 следует, что в этом случае существует единственная неявная функция определяемая уравнением . Обозначим ее через . Докажем ее дифференцируемость. Рассмотрим разность

Здесь c и d лежат между значениями и . Отсюда получаем

.

Поделив на разнрсть , перейдем к пределу при

.

Что и требовалось доказать.

Конец доказательства.

Пример 18.4. Как следует из примера 18.3 и это дифференцируемая функция, поэтому неявная функция тоже дифференцируема и

,

для тех x и y, для которых .

Конец примера.

Теорема 18.4. Пусть функция непрерывна и дифференцируема в окрестности точки и . Если в этой окрестности частная производная и непрерывна, то существует некоторый интервал, содержащий точку , на котором определена единственная дифференцируемая неявная функция , такая, что и .

Доказательство. Пусть для определенности . Тогда на некотором прямоугольнике , содержащем точку , выполняется неравенство в силу непрерывности производной. Следовательно, по y функция монотонно возрастает при фиксированном значении . Отсюда следует, что на отрезке функция принимает на концах этого отрезка разные знаки . И, следовательно, в силу непрерывности функции на некотором отрезке эта функция принимает значения разных знаков . Теперь выполнены все условия теоремы 18.3, откуда следует справедливость теоремы 18.4.

Конец доказательства.

Пример 18.5. Пусть , в точке частная производная , поэтому существует интервал, содержащий указанную точку, на котором определена единственная неявная функция .

Конец примера.

ЛЕКЦИЯ № 19. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 19.1. Условный экстремум.

Определение 19.1. Условным минимумом функции n переменных при наличии m условий связи

,

называется точка , такая что

,

и для всех из некоторой окрестности точки , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство .

Конец определения.

Определение 19.2. Условным максимумом функции n переменных при наличии m условий связи

называется точка , такая что

,

и для всех из некоторой окрестности точки , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство .

Конец определения.

Определение 19.3. Условным экстремумом функции n переменных называется точка условного максимума или локального минимума.

Пример 19.1. .

Точкой условного минимума будет (смотри рис. 1). Действительно из уравнения связи , или , но .

Конец примера.