Наивероятнейшее число появления событ. в последовательности независим. испытаний

Опред.: Наивероятнейш. числом наступления соб. А в n независим. испытаниях назыв. число, для кот. вероятн. превышает или по крайней мере не менее вер. каждого из остальных возможн. исходов испытаний. Пусть соб. А наступило раз в n испытаниях. Вер. появл. соб. А обозначим p; P(A)=p, а , тогда по формуле Бернули . По определению: -формула (1); -формула (2). Из нер-ва (1) получаем: ; ; ; . Т.к. , то . Из нер-ва (2) получаем: ; ; ; ; . Т,о. для нахождения наивероятнейш. числа мы получили нер-во: . Замечание 1: Длина интервала, определяемая последн. нер-вом равна 1; Замечание 2: Если границы интервала – дробные числа, то значение наивероятнейш. числа одно. Если границы – целые числа, то значений наивер. числа два.

Функция Лапласа. Интегральная функц. Лапласа. Их применение для решения задач в условиях повторения испытаний.

Использовать формулу Бернулли при достаточно большом кол-ве испытаний затруднительно. Поэтому, когда используют теорему Лапласа. Локальная теорема Лапласа: Если вер. появления соб. А в кажд. испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вер. того, что соб. А появится в n испытаниях ровно m раз, приближен. равна(тем точнее, чем больше n) значению функции: , где , где . Имеются таблицы, в кот. помещены значения функц. , соответствующ. положит. значениям аргумента . Для отрицат. значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функц. четная, т.е. . Вер. того, что соб. А появится в n испытаниях ровно m раз , где . Предположим, что производится n испытаний, в кажд. из кот. вер. появл. соб. А постоянна и равна p, . Нужно найти вер того, что соб. А появится в n испытаниях не менее и не более раз, т.е. нужно найти . Теор.: Если вер. P наступления события в кажд. испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вер. того, что в n испытаниях соб. А появится от до раз , где . При решении задач, требующ. применения интегральн. теоремы Лапласа, пользуются специальн. таблицами. В них даны значения функции для положит. значений аргумента . Для <0 функц. нечетн., т.е. . В табл. приведены значения для . При >5 значение функц. считается постоян. и равно 0,5. Для того, чтобы можно было использовать табл. функций Лапл. преобразуем последнюю формулу: ; , где . Вер. того, что соб. А появится в n независим. испытаниях от до раз равна .

????Вер. отклонения относит. частоты от постоян. вер. в независим. испытаниях. Будем считать, что производится n независ. испытаний, в кажд. из кот. вер. появл. соб. А постоянна и равна p. Найдем вер. того, что отклонение относит. частоты от постоян вер. p по абсолютн. величине не превышает задан. числа , т.е. найдем вер. осуществления нер-ва: . Заменим дан. нер-во на равносильн. ему нер-во ; . Умножим последн. нер-во на , получим . Воспользуемся интегральн. теоремой Лапл. Положим ,а , тогда имеем вер. того, что P( ) . Окончательно получаем .

Формула Пуассона

Если вер. события p в отдельн. испытании близка к 0, то даже при большом числе испытаний n, но небольш. величине вероятности , получен. по локальн. формуле Лапл. не достаточно близки к их истин. значениям. В таких случаях применяют формулу Пуасона. Теор.: Если вер. p наступления соб. А в кажд. испытании постоянна, но близка к 0, число независим. испытаний n достаточн. велико, а , то вер. того, что в n независ. испытаниях соб. А наступит m раз . Это формула Пуасона. Доказ-во: Для вычисления вер. воспользуемся формул. Бернулли: (Т.к. , то )= . Т.к. по условию n велико, то найдем предел правой части последн. равенства при , при этом будет получено приближен. значение вероятн.: = = = = Пределы всех скобок, кроме предпоследн. равны 1 при . Следоват-но вер. того, что в n испытаниях событие появится m раз . Замечание: Формулу Пуассона обычно используют, когда , а .