Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Событие А называется независимым от события В, если вероятн. события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависим. от события В, если вероятн. соб. А меняется в зависим. от того, произошло соб. В или нет. Определ.: Вер. Соб. А, вычисленная при условии, что имело место др. соб. В, называется условной вероятностью события и обозначается P_В(A) или P(A\B). Условие независимости соб. А от соб. В можно записать в виде P_В(A)=P(A). Условие зависимости соб.: P_B(A)≠P(A). Теорема: Вероятн. произведения 2-ух событий равна произв. вероятн. одного из них на условн. вероятн. другого, вычисленную при условии, что 1-ая имела место, т.е. P(AB)=P(A) P_A(B). Доказат-во: Пусть возможн. исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что событию А благоприятств. m случаев, а соб. В – k случаев. Т.к. мы не предполагали соб. А и В несовместными, то существуют случаи благоприятн. и соб. А, и соб. В одновременно. Пусть число таких случаев , тогда вероятн. соб. АВ будет равна /n, а P(A)=m/n. Вычислим условн. вероятн. соб. В в предположении, что соб. А имело место. Если известно, что соб. А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, кот. благоприятствовали соб. А, а из них только случаев благоприятствуют соб. В, поэтому P_A(B)= /m. Подставляя в выражения вероятн. события АВ, вер. событ. А и условн. вероятн. соб. В, получаем тождество.

Замечание: При применении теоремы безразлично, какое из соб. А и В считать 1-ым, а какое 2-ым, т.е. P(AB)= P(A) P_A(B)= P(B) P_B(A)

Независимые события. Теорема умножения для независим. событий.

Определ: 2 события назыв. независимыми, если появление любого из них не изменит вероятности появления другого, т.е. P(A)=P_B(A) или P(B)=P_A(B). Теорема: Вероятн. совместного появл. 2-ух независим. событий равна произведению их вероятностей, т.е. P(AB)= P(A) P(B). Доказат-во: Т.к. событие А и В независимы, то должно выполняться равенство P(B)=P_A(B). Тогда по теореме умножения вероятностей P(AB)=P(A) P_A(B)= P(A) P(B). Следствие: Если соб. А и В независимы, то независимы и события А и . Следствие 2: Если 2 события независимы, то независимы и противоположн. им события. Теорема: Вероятн. совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятн. одного из них на условные вероятн. всех остальных. Причем условн. вероятн. каждого последующего соб. вычисляется в предположении, что все предыдущ. уже наступили, т.е. P(A₁ A₂ …A_n)=P(A₁) P_A1(A₂) , где - условная вероятность соб. А_n , вычисленная в предположении, что соб. А₁, А₂… А_n-1 произошли. Определ.: Событ. называются независимыми в совокупности, если наряду с их попарной независимостью независимо любое из них и произведение любого числа из остальных. В противн. случае события назыв. зависимыми. Теорема: Вероятн. совместн. появления нескольк. событ. независимых в совокупности равна произвед. вероятностей этих событий, т.е. P(A₁ A₂ …A_n)=P(A₁) P(A₂) … P(A_n).