Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в серии испытаний
Элементы комбинаторики
Комбинации, составленные из одной и той же совокупности n различных предметов и отличающиеся лишь порядком этих предметов, называются ПЕРЕСТРОЕНИЯМИ. Pn=n!
Комбинации по m элементов, составленные из n различных элементов и отличающиеся друг от друга либо этими элементами, либо их порядком, называются РАЗМЕЩЕНИЯМИ
Anm=n!/(n-m)! без повторений. Ӑnm=nmс повторениями
Комбинации, содержащие по m элементов из n элементов и отличающиеся хотя бы одним элементом, называются СОЧЕТАНИЯМИ (порядок не важен) Cnm=n!/m!(n-m)!
Алгебра событий
Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.
Определения вероятности события
1)Классическое определение
Совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно их них.
События А1 А2 А3, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называются элементарными событиями.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А ведет за собой наступление события В.
Классическое определение вероятности: вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е Р(А)= m/n
Свойства:
-Вероятность достоверного события равна единице (m=n)
-Вероятность невозможного события равна нулю (m=0)
-Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей (0<=P(A)<=1)
2) Статистическое определение
Пусть произведено n испытаний , при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называется абсолютной частотой события А, а отношение w(А)=m/n называется относительной частотой.
Статистическое определение вероятности: вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.
3) Геометрическое определение
Пусть исход испытания – это попадание некоторой точки в область D, а случайное событие А – попадание точки в некоторую область D1 принадлежащую D. Вероятность события А :
P(A)=мера области D1 / мера области D . это и есть геометрическое определение вероятности.
Мера – длина, площадь, объем и т.д.
Теоремы о вероятности суммы несовместных и совместных событий
Пусть события А и В несовместны, тогда вероятность того что произойдет хотя бы одно из этих событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Док-во: пусть n – число равновозможных исходов испытания, ma – число исходов, благоприятствующих появлению события А, mb - число исходов, благоприятствующих появлению события В. Р(А)+Р(В)= ma/n + mb/n=(ma+mb)/n
Пусть события А и В совместны, тогда вероятность того что произойдет хотя бы одно из этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–P(AB)
Док-во: пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l – событию В и m – одновременно событиям А и В. Отсюда событию А+В благоприятствуют k+l-m элементарных событий. Тогда Р(А+В)= (k+l–m)/n=k/n +l/n – m/n=Р(А)+Р(В)–P(AB)
Теоремы о вероятности произведения независимых и зависимых событий
Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого их них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае эти события называют зависимыми.
Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А) РА(В)
Док-во: пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда Р(АВ)=l/n=k/n * l/k=Р(А) РА(В)
Если события А и В независимы, тогда Р(АВ)=Р(А) Р(В)
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Пусть событие А может произойти лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий Н1, Н2…Нn, образующих полную группу событий. События Н1, Н2…Нn называются гипотезами для события А. Тогда Р(А)=Р(Н1) РН1(А) +…+ Р(Нn) РНn(А)
Это формула полной вероятности.
Из формулы полной вероятности следует формула Байеса, позволяющая произвести переоценку вероятностей гипотез после того, когда событие А произошло:
РА (Нi)= Р(Нi) *РНi(А) / Р(А)
Док-во: по теореме умножения вероятностей и формуле полной вероятности имеем: Р(АНi)=Р(А) РА(Hi)= Р(Hi) РHi(A). Отсюда: РА(Hi)= Р(Hi) РHi(A) / Р(А). Используя формулу полной вероятности, находим: РА(Hi)= Р(Hi) РHi(A) / ∑Р(Нk) РНk(А)
Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в серии испытаний
Пусть вероятность события А одинакова во всех n независимых испытаниях и равна p(A)=p. Тогда p(Ā)=1-p=q. Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: pn(k)=Cnk * pk * qn-k
Число появления события А, вероятность которого наибольшая, называется наивероятнейшим числом. Обозначим наивероятнейшее число наступления некоторого события А в серии из n испытаний через m.
Pn(m)≥ Pn(m-1) (1) Pn(m)≥ Pn(m+1) (2)
Распишем неравенство (1) использую формулу Бернулли.
Pn(m) / Pn(m-1) ≥1
Cnm * pm * qn–m / Cnm–1 * pm-1 * qn–m+1≥1
n!(n-1)!(n-m+1)!p / m!(n-m)!n!q ≥1
(n-m+1) / m * p/q ≥1
(n-m+1)p≥qm
(n+1)p ≥qm+pm (n+1)p ≥(q+p)m m≤np+p
Поступая аналогично с неравенством(2),получим m≥np-q. np-q≤m≤np+p