Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков

В этом разделе мы рассмотрим как построить график функции, используя теорию пределов и дифференциальное исчисление.

1. Признак возрастания и убывания функции

Зная производную функции, мы можем выяснить на каком промежутке функция будет возрастать, а на каком убывать. Вспомним сначала определение монотонной функции.

Определение 3.Функция , определенная на некотором промежутке вещественной оси, называется возрастающей (убывающей) на этом промежутке, если для любых и из этого промежутка, таких, что выполняется неравенство (соответственно, неравенство ).

Если функция возрастает на некотором промежутке, то функция , получающаяся из изменением знака у всех ее значений является убывающей на этом промежутке функцией.

Возрастающие и убывающие на некотором промежутке функции называются монотоннымина этом промежутке.

Если в определении 3 при выполняется строгое неравенство (соответственно ), то функция называется строго возрастающей (строго убывающей).

Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Очевидно, что строго монотонная (возрастающая, убывающая) функция является и просто монотонной (соответственно возрастающей, убывающей) функцией в смысле определения 3.

Рассмотрим некоторый интервал вещественной оси. Сформулируем теорему, которая содержит необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции на интервале .

Теорема 1.Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная этой функции была неотрицательной, (соответственно, неположительной, ).

Если всюду на производная положительна: (соответственно отрицательна: ), то функция строго возрастает (строго убывает) на рассматриваемом интервале.

Условия и не являются необходимыми для строгого возрастания, соответственно строгого убывания, функции, Например, функция строго возрастает на любом интервале вещественной оси, но .

Теорема остается верной для непрерывных функций, не имеющих в конечном числе точек производной. Утверждение второй части теоремы остается в силе, если кроме того, в конечном числе точек производная обращается в нуль.

Пример 14.Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Определим производную :

Очевидно, что при любом значении , следовательно, функция возрастает на всей числовой оси.

В частности, поскольку , то для всех выполняется неравенство или

2. Локальные экстремумы функции

Введем определения локального максимума и минимума функции, а также признаки их существования.

Определение 4.Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой локального максимума (соответственно точкой локального минимума) функции , если существует такое , что для всех удовлетворяющих условию , выполняется неравенство (соответственно ).

Если существует такое , что для всех , таких, что , выполняется неравенство (соответственно , то называется точкой строгого локального максимума (соответственно строгого локального минимума).

Точки (строгого) максимума и минимума называются точками (строгого) экстремума.

Например, на рис. 33 точки и являются точками локального максимума, а точки и - локального минимума.

Рис. 33. Экстремумы функции.

Для точек строгого экстремума функции , и только для них, приращение не меняет знака при переходе аргумента через , т. е. при изменении знака . Именно для точек строгого максимума и в случае строгого минимума независимо от знака достаточно малого .

Приведем необходимые условия наличия локального экстремума функции.

Теорема 2.(необходимые условия экстремума). Пусть является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки . Тогда либо производная не существует, либо .

Отметим, что условие не является, для дифференцируемой при функции, достаточным условием наличия экстремума, как это показывает пример функции , которая для имеет производную, равную нулю, но для которой не является точкой экстремума.

Приведем теперь теоремы, содержащие достаточные условия строгого локального экстремума функции в терминах смены знака производной и для функции, имеющей производные высших порядков.

Теорема 3.(достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки , в которой при и при .

Если же при и при , то - точка строгого минимума.

Теорема 4.Пусть в точке у функции существуют производные до порядка включительно, причем

Тогда, если , , т. е. — четное число, то функция имеет в точке строгий экстремум, а именно максимум при и минимум при . Если же , , т. е. - нечетное число, то функция не имеет в точке экстремума.

Следствие.Если , а , то при является точкой строгого минимума, а при - точкой строгого максимума функции .

Отметим также, что точка, в которой функция определена, а ее производная равна нулю, называется стационарной точкой, а точка, в которой функция определена, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, называется критической точкой.

В заключении этого пункта запишем правило нахождения тех значений , при которых достигает максимума или минимума:

• нужно найти ;

• найти те значения , при которых обращается в нуль или не существует, т.е. решить уравнение и определить точки разравы функции ;

• исследовать изменение знака при переходе через эти значения по следующей схеме

Таблица 5.

		максимум

Таблица 6.

		минимум

Значения , в которых исследуется знак производной, нужно брать достаточно близкими к . Стрелка означает, что в рассатриваемом промежутке функция убывает, стрелка обозначает возрастание функции. Если производная сохраняет знак при переходе через , то экстремума в точке нет.

Пример 15.Найти максимумы и минимумы функции

Решение. Функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем первую производную

Производная определена на всей числовой оси. Очевидно, что равна нулю в точках , .

Исследуем знак в зависимости от расположения точки на числовой оси. Заметим, что в выражении множитель неотрицателен для всех , поэтому на знак влияют только множители и . При выражение меньше нуля и (чтобы в этом убедиться, достаточно положить равным нулю). Когда получим и . При будем иметь и . Наконец, при получим и . Сведем полученные результаты в таблицу:

Таблица 7.

		макс.		мин.

Итак, являетя точком максимума и значения функции в этой точке равно . Точка - точка минимума, при этом .

График функции изображен на рис. 34.

Рис. 34. График функции при .

3. Выпуклость функции. Точки перегиба

В этом пункте приведем определения выпуклой вниз и выпуклой вверх функции, точек перегиба, а также сформулируем необходимые и достаточные условия выпуклости и наличия точек перегиба.

Пусть функция определена на интервале и пусть . Проведем прямую через точки и , лежащие на графике функции . Ее уравнение будет

или

Очевидно, , .

Определение 5.Функция называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если каковы бы ни были точки и , , для любой точки интервала , выполняется неравенство (соответственно

Геометрически это означает, что любая точка хорды (т. е. отрезка прямой с концами в точках и ) лежит не выше (не ниже) точки графика функции , соответствующей тому же значению аргумента (рис. 35).

Рис. 35. Выпуклость вверх и выпуклость вниз

Определение 6.Если вместо (соответственно, выполняются строгие неравенства (соответственно, ) при любых , и таких, что , то функция называется строго выпуклой вверх(строго выпуклой вниз) на интервале .

Сформулируем теорему, содержащую необходимые и достаточные условия выпуклости функции вверх и вниз.

Теорема 5.Пусть функция определена и непрерывна вместе со своей производной на интервале и имеет внутри него конечную вторую производную . Для выпуклости вверх (вниз) функции на интервале необходимо и достаточно, чтобы внутри было

Замечание. Условие ( ), является достаточным условием строгой выпуклости вверх (вниз) функции на интервале .

Определим теперь какая точка является точкой перегиба функции.

Определение 7.Пусть функция дифференцируема при и пусть - уравнение касательной к графику функции в точке . Если разность меняет знак при переходе через точку , то называется точкой перегиба функции (см. рис. 36).

Рис. 36. Точка перегиба

Сформулируем необходимые условия существования точки перегиба.

Теорема 6.(необходимое условие наличия точки перегиба) Пусть функция имеет непрерывную при вторую производную. Тогда, если точка является точкой перегиба функции , то .

Приведем теперь достаточные условия существования точек перегиба с использованием второй и третьей производной функции.

Теорема 7.(первое достаточное условие наличия точек перегиба) Если функция , дифференцируемая в точке , дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки и вторая производная функции меняет знак при переходе аргумента через (т. е. либо при и при , либо при и при ), то является точкой перегиба функции .

Если исследуемая функция имеет третью производную, то можно использовать следующий признак существования точек перегиба.

Теорема 8.(второе достаточное условие наличия точек перегиба) Пусть , ; тогда является точкой перегиба.

Таким образом, нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и выпуклости вниз функции проводится следующим образом:

• определяется ;

• отыскиваются те значения , при которых обращается в нуль или не существует, т.е. решается уравнение и определяются точки разрывы функции ;

• исследуется изменение знака при переходе через эти значения по следующей схеме

Таблица 8.

		точка перегиба

Таблица 9.

		точка перегиба

Значения , в которых исследуется знак второй производной, нужно брать достаточно близкими к . Символ означает, что в рассатриваемом промежутке функция выпукла вверх, символ означает выпуклость вниз функции. Если вторая производная сохраняет знак при переходе через , то не является точкой перегиба.

Пример 16.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение. Функция определена и по крайней мере дважды дифференцируема при всех вещественных кроме . Найдем :

Получаем, что вторая производная равна нулю в точке , а в точке не существует. Исследует знак на интервалах , , , для этого заполним следующую таблицу.

Таблица 10.

				не сущ.
		точка перегиба		не сущ.

Получаем, что - точка перегиба, при функция выпукла вверх, а при и - выпукла вниз.

График функции изображен на рис. 37.

Рис. 37. График функции .

4. Асимптоты

Использование понятия предела часто позволяет более точно отразить свойства функции при построении ее графика. Так нахождение наклонной и вертикальной асимптот основывается на вычислении предела.

Асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю, когда точка «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при ). (см. рис. 38).

Рис. 38. Наклонная и вертикальная асимптоты.

Дадим точное определение наклонной асимптоты.

Определение 8.Пусть функция определена для всех (соответственно для всех ). Если существуют такие числа и , что

(соответственно при ), то прямая

называется наклонной асимптотой графика функции при (соответственно при ).

Числа и находятся по формулам

и

Заметим, что при таком определении мы ни при каких значениях и не можем получить прямую, параллельную оси , поэтому приведем еще одно определение - определение вертикальной асимптоты.

Определение 9.Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (быть может, односторонней) и пусть выполнено хотя бы одно из условий , или , тогда прямая называется вертикальной асимптотой графика функции .

5. Порядок построения графика функции, заданной выражением

Приведем схему действий, которые нужно проделать для построения графика функции .

Нужно

• найти область определения функции и исследовать поведение функции в граничных точках области определения;

• исследовать функцию на симметрию графика и периодичность;

• найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности;

• определить точки пересечения графика функции с координатными осями и области постоянства знака функции;

• найти асимптоты;

• найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции;

• определить точки перегиба и установить промежутки вогнутости вверх (вниз);

• построить график функции.

Пример 17. Построить график функции .

Решение. Проведем полное исследование функции.

1. Найдем область определения этой функции. Функция существует при всех значениях , кроме , при котором знаменатель обращается в нуль. Следовательно, область определения функции

2. Исследуем вопрос о симметрии графика, т.е. проверим является ли данная функция четной, нечетной или функцией общего вида. Для этого выясним, выполняется ли одно из равенств или :

Ни одно из проверяемых равенств не выполняется, так что функция не является ни четной ни нечетной.

Очевидно, функция не является переоидической.

3. Числитель и знаменатель дроби непрерывные функции, поэтому функция будет непрерывной при всех значениях , кроме , при котором знаменатель дроби обращается в нуль.

4. Определим точки пересечения графика функции с осями координат. График пересекает ось при :

Для нахождения точек пересечения графика с осью решим уравнение

Оно имеет единственное решение: . Таким образом, точки пересечения с координатными осями: и .

Найдем области постоянства знака функции, т.е. промежутки где функция положительна и отрицательна. Поскольку график пересекает ось в точке , а также поскольку функция может принимать значения разных знаков по разные стороны от точки разрава, то нужно исследовать какой знак имеет функция при , и при . О<