Применение дифференциального исчисления

К исследованию функций одной переменной

Монотонность:Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Применение дифференциального исчисления - student2.ru , то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке Применение дифференциального исчисления - student2.ru , то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительная) на этом промежутке: Применение дифференциального исчисления - student2.ru , Применение дифференциального исчисления - student2.ru , т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Практическое нахождение участков монотонности функции

Пусть функция Применение дифференциального исчисления - student2.ru задана на Применение дифференциального исчисления - student2.ru . Отметим на Применение дифференциального исчисления - student2.ru точки, в которых либо Применение дифференциального исчисления - student2.ru , либо Применение дифференциального исчисления - student2.ru не существует, либо терпит разрыв. Пусть это точки Применение дифференциального исчисления - student2.ru , Применение дифференциального исчисления - student2.ru , занумерованные в порядке возрастания. На каждом из интервалов Применение дифференциального исчисления - student2.ru производная Применение дифференциального исчисления - student2.ru непрерывна и сохраняет знак, который совпадает со знаком Применение дифференциального исчисления - student2.ru , где Применение дифференциального исчисления - student2.ru - выбранная для удобства вычислений точка этого интервала. Следовательно, на любом из этих интервалов Применение дифференциального исчисления - student2.ru возрастает при Применение дифференциального исчисления - student2.ru или убывает при Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Пример № 1.

Найти интервалы монотонности функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Решение.

Имеем Применение дифференциального исчисления - student2.ru . Очевидно, Применение дифференциального исчисления - student2.ru при Применение дифференциального исчисления - student2.ru и Применение дифференциального исчисления - student2.ru при Применение дифференциального исчисления - student2.ru , так как:

Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Применение дифференциального исчисления - student2.ru

– +

2 Применение дифференциального исчисления - student2.ru

Т.е. функция убывает на интервале Применение дифференциального исчисления - student2.ru и возрастает на интервале Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Пример № 2.

Найти интервалы монотонности функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Решение.

Находим первую производную функции:

Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Применение дифференциального исчисления - student2.ru в точках Применение дифференциального исчисления - student2.ru , Применение дифференциального исчисления - student2.ru . Наносим точки на числовую прямую.

 
  Применение дифференциального исчисления - student2.ru

+ _ +

о Применение дифференциального исчисления - student2.ru

-2 -1 0

В промежутках Применение дифференциального исчисления - student2.ru функция возрастает; а в промежутках Применение дифференциального исчисления - student2.ru - убывает (точку Применение дифференциального исчисления - student2.ru необходимо “выкалывать”, т.к. функция Применение дифференциального исчисления - student2.ru в этой точке не существует).

Экстремумы функции

Определение. Точка Применение дифференциального исчисления - student2.ru называется точкой максимума (минимума) функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru , если в некоторой окрестности точки Применение дифференциального исчисления - student2.ru выполняется неравенство Применение дифференциального исчисления - student2.ru Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Значение функции в точке Применение дифференциального исчисления - student2.ru называется соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки Применение дифференциального исчисления - student2.ru . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Необходимое условие экстремума:Для того чтобы функция Применение дифференциального исчисления - student2.ru имела экстремум в точке Применение дифференциального исчисления - student2.ru , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю Применение дифференциального исчисления - student2.ru или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными).

Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума: если при переходе через критическую точку Применение дифференциального исчисления - student2.ru производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то Применение дифференциального исчисления - student2.ru - есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru на экстремум.

1. Найти ОДЗ функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

2. Найти производную Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

3. Найти критические точки функции, в которых производная Применение дифференциального исчисления - student2.ru или не существует.

4. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

5. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример № 3.

Исследовать на экстремум функцию Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Решение.

1. ОДЗ: Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

2. Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

3. Применение дифференциального исчисления - student2.ru - критические точки.

Применение дифференциального исчисления - student2.ru

– + +

Применение дифференциального исчисления - student2.ru 1 Применение дифференциального исчисления - student2.ru

Нанести критические точки на числовую ось.

1. Согласно достаточному условию Применение дифференциального исчисления - student2.ru - точка минимума данной функции. В точке Применение дифференциального исчисления - student2.ru экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума: если первая производная Применение дифференциального исчисления - student2.ru дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке Применение дифференциального исчисления - student2.ru , а вторая производная в этой точке Применение дифференциального исчисления - student2.ru положительна, то Применение дифференциального исчисления - student2.ru есть точка минимума функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru ; если Применение дифференциального исчисления - student2.ru отрицательна, то Применение дифференциального исчисления - student2.ru – точка максимума функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru .

Схема исследования на экстремум функции Применение дифференциального исчисления - student2.ru с помощью второго достаточного условия в целом аналогична схеме приведенной выше.

Выпуклость функции. Точки перегиба.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом промежутке.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку Применение дифференциального исчисления - student2.ru меняет свой знак, то Применение дифференциального исчисления - student2.ru есть точка перегиба ее графика.

Наши рекомендации