Метод: первый замечательный предел.

Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ~ Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ; Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ~ Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

4-метод: 2-ой замечательный предел.

Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Если обозначить Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Метод: первый замечательный предел. - student2.ru .

Пр. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Метод: первый замечательный предел. - student2.ru .

Производная и дифференциал функции. Правило дифференцирования.

Производной Метод: первый замечательный предел. - student2.ru в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся Метод: первый замечательный предел. - student2.ru отношения приращения ф. к приращению аргумента если этот предел сущ-ет. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Геом. смысл производной: угловой коэф. касательной в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru = значению производной в этой точке. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

О. Ф. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся дифференцируемой в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , если она имеет в этой точке конечную производную. Если ф. дифференцируема в каждой точке интервала Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то она наз-тсядифференцируемой на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru .

Если ф. дифференцируема в т. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , где Метод: первый замечательный предел. - student2.ru –приращение ф. , Метод: первый замечательный предел. - student2.ru -приращение аргумента. А-число не зависящее от Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ; Метод: первый замечательный предел. - student2.ru -бесконечно малое, при Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Дифференциалом ф. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся линейная часть ур-ния Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Дифференциалом независимой переменной Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся приращение этой переменной, т.е. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru . Т.о. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Т. Если ф. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru диф. в т. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то их сумма, разность, произведение и частное также диф-мы в этой точке. Причем: Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , Метод: первый замечательный предел. - student2.ru .

Т.Если функция х=Р(t) имеет производную в т.t0,а функция у=f(x)имеет производную в соответствующей точке x0=P(t0),то сложная функция f(P(t))=имеет производную в т. t0

Производная 1-го порядка: функция Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Производная второго порядка- производная от Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Дифференциал Метод: первый замечательный предел. - student2.ru –ного порядка Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

13)Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма.

ф-я Метод: первый замечательный предел. - student2.ru определена на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и в нек-рой точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru этого интервала имеет наиб.или наим. значение, тогда если в этой точке определена производная, то она =0, т.е. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Если произв. в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru =0, будет ли в этой точке наиб.или наим. значение.

Док-во:

Пусть для определенности в т.х0 наибольшее значение,т.е. для любого х принадлежашего (а;b)

f(x) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru f(x0);f(x)-f(x0) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru 0следовательно дельта у Метод: первый замечательный предел. - student2.ru 0,пусть дельта х больше 0(предел с права);предел при дельта х стремящемся к 0 (дельта у/дельта х) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru 0,если дельта х Метод: первый замечательный предел. - student2.ru 0,то предел больше 0

Пр. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru в точке 0 производная =0.

Теорема Ролля.

Пусть на отрезке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru определена ф-я Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , причем:

ü Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Метод: первый замечательный предел. - student2.ru непрерывна на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

ü Метод: первый замечательный предел. - student2.ru дифференцируема на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

ü Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Тогда сущ-ет точка Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , что Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Док-во:

Т.к функция непрерывна на отрезке [a;b] то по 2 теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее m,т.е. существуют такие точки x1и x2принадлежащие [a;b],что f(x1)=m,f(x2)=M и выполняется m Метод: первый замечательный предел. - student2.ru f(x) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru M,для любого х принадлежащего отрезку.

1)m=Mтогда f(x)=const и f’(x)=0

2)m Метод: первый замечательный предел. - student2.ru M,т.кf(a)=f(b),то хотя бы одно из значений наибоьшее или наименьшее достигается на интервале (a;b),т.е. существует т.С принадлежащая(a;b)в кот. Функция имеет наиб.илинаим. Значение т.к. функция дифериенцируема в тС

f’(C)=0,по теореме ферма..

Теорема Лагранжа.

Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Пусть на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru определена ф-я Метод: первый замечательный предел. - student2.ru причем:

ü Метод: первый замечательный предел. - student2.ru непрерывна на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

ü Метод: первый замечательный предел. - student2.ru диффер. на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Тогда сущ-ет точка С, принадлежащ. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , такая, что Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Док-во:
Введем в рассмотрение функцию F(x),для функции выполняется:1)F(x) не преывна на отрезке [a;b],как сумма не прерывных функции.2)F(x) ифференцируема на на интервале (a;b) как сумма дифференцируемых функции.3)F(a)=F(b)=0 следовательно существует такая т.С принадлежащая (a;b),что F’(C)=0,следовательно F’(C)= Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Теорема Коши.

Пусть Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru непрерывны на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и дифференцируемы на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и пусть кроме того Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , тогда сущ-ет Метод: первый замечательный предел. - student2.ru такая, что Метод: первый замечательный предел. - student2.ru . Если в кач-ве Метод: первый замечательный предел. - student2.ru взять ф-ю. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru = Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа положить Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то получим т. Коши.

Теорема Лапиталля-Бернулли.

Пусть Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru определены и дифф. на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru содержащим точку Метод: первый замечательный предел. - student2.ru за исключением быть может самой точки Метод: первый замечательный предел. - student2.ru . Пусть предел при Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , тогда если сущ-ет конечный предел, при, Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Метод: первый замечательный предел. - student2.ru то сущ-ет и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru причем они равны

14)Исследование поведения ф-и и построение её графика.

Признак ­ и ¯.

О. Ф-я Метод: первый замечательный предел. - student2.ru на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся : 1)постоянной, если Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , где Метод: первый замечательный предел. - student2.ru для Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ;2)возрастающей, если для любых двух значений Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , таких что Метод: первый замечательный предел. - student2.ru < Метод: первый замечательный предел. - student2.ru вып-тсянер-во Метод: первый замечательный предел. - student2.ru < Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ; 3)убывающей, если из Метод: первый замечательный предел. - student2.ru < Метод: первый замечательный предел. - student2.ru следует Метод: первый замечательный предел. - student2.ru > Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Достаточное условие ­ и ¯ функции.

Если в данном промежутке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru «+», то ф-я ­ в этом промежутке, если Метод: первый замечательный предел. - student2.ru «-», то ф-я ¯. Если же на промежутке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то ф-я постоянна на этом промежутке.

Док-во:
Рассмотрим функцию у= f(x) на интервале(а;b) рассмотрим произвольные х1 и х2,такие что х1 Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ч2,по теоремк Лагранжа сущт.С принадлежащая(х1;х2),такая ,что f(x2)- f(x1)=f’(c)(х2-х1);преположим,что производная на (а$b) положительна тогда f(x2)больше f(x1),соответственно если отриц.томеньше,если =0 то раны.В силу произвольности х1 и х2 функция fя вляетсяпостояннлй

Экстремумы ф-и.

Рассм. нек-рую ф-ю Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , определенную на Метод: первый замечательный предел. - student2.ru . Пусть Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , d–нек-рое «+» число, d-окрестностью в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru будем наз-ть интервал Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и обозначать Метод: первый замечательный предел. - student2.ru .

О. Если можно указать такую d–окрестность Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , принадлежащую Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , что для всех Метод: первый замечательный предел. - student2.ru вып-тся Метод: первый замечательный предел. - student2.ru > Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-ют максимумом ф-и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и обозначают Метод: первый замечательный предел. - student2.ru . Если же вып-тсянер-во , то минимумом – Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-ют экстремумом. Значение аргумента, при к-ром достигается экстремум, наз-ют точкой экстремума.

Т. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифф. ф-и ее производная =0.

Если производная =0, то отсюда не следует, что Метод: первый замечательный предел. - student2.ru -точка экстремума.

О. Точка, в к-рой производная =0 наз-тсястационарной. Точки, в к-рых произв. =0, а также точки, в к-рых производная не существует, либо =¥наз-ют критическими точками. Т.о. точки экстремума следует искать среди критических точек.

Т.(достаточное условие экстремума). Пусть ф-я Метод: первый замечательный предел. - student2.ru дифференцируема в нек-рой окрестности Метод: первый замечательный предел. - student2.ru . Если в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru производная=0 и меняет знак при переходе через Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , то Метод: первый замечательный предел. - student2.ru –точка экстремума, причем : 1)если произв. меняет знак с – на + это точка минимума; 2)с + на – точка максимума.

Т.Если в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru 1-ая произв. дифф-мая. в нек-рой окрестности Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ф-и =0, а 2-ая произв. отлична от нуля, то Метод: первый замечательный предел. - student2.ru явл. точкой экстремума. Причем Метод: первый замечательный предел. - student2.ru - Метод: первый замечательный предел. - student2.ru если Метод: первый замечательный предел. - student2.ru >0, и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru - Метод: первый замечательный предел. - student2.ru если Метод: первый замечательный предел. - student2.ru <0.

Направление выпуклости и точки перегиба.

О. График Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тсявыпуклым вниз в данном промежутке, если он целеком расположен выше касательной в его производной точке и выпуклым вверх-если расположен ниже касательной.

Т. Достаточный признак выпуклости графика ф-и.

Если Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ф-и –«+» в данном промежутке, то график ф. явл. выпуклым вниз в данном промежутке. Если же Метод: первый замечательный предел. - student2.ru –«-«, то-выпуклым вверх.

О. Точка, в к-рой меняется направление выпуклости наз-тсяточкой перегиба.

Т.(достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Метод: первый замечательный предел. - student2.ru Метод: первый замечательный предел. - student2.ru =0 и меняет знак при переходе через нее, то Метод: первый замечательный предел. - student2.ru –точка перегиба.для х в 4 н выполняется.

Асимптоты.

Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.

О. Прямая Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся вертикальной асимптотой графика ф-и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , если хотя бы одно из предельных значений Метод: первый замечательный предел. - student2.ru стремится к ¥.

О.Предположим, что Метод: первый замечательный предел. - student2.ru определена при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента (будем рассм. «+» значения). Прямая Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся наклонной асимптотой графика ф-и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , если эта ф-я представлена в виде Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , где Метод: первый замечательный предел. - student2.ru –бесконечно малая, то Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ®0, при Метод: первый замечательный предел. - student2.ru .

Т. (необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты). График ф-и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru имеет при Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наклонную асимптоту Метод: первый замечательный предел. - student2.ru , если сущ-ют 2 конечных предела. Метод: первый замечательный предел. - student2.ru и Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

Исследование ф-и и построение графика:

I. Найти область определения (Д)

II. обл. значений

III. четность и периодичность

IV. точки пересечения с осями координат

V. изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.

VI. точки экстремума и промежутки ­ и ¯

VII. промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба

VIII. асимптоты графика

IX. построить график ф-и.

О. Ф-я Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тся четной, если: 1) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru ; 2) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

О. Ф-я Метод: первый замечательный предел. - student2.ru наз-тсяпериодической, если сущ-ет такое Т>0, что 1) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

2) Метод: первый замечательный предел. - student2.ru

15)Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Наши рекомендации