Первый замечательный предел

Первый и второй замечательные пределы. Их следствия.

Док-во:имеем окр радиуса=R.построим соотвествующие фигуры где — площадь сектора )

(из : )

предположим,что x>0,тогда sinx>0,тогда знак деления не изменится при делении на sinx,

Перейдём к пределу:

Следствия

На основании связи ББ и БМ величин имеет место следующее нер-во: второй замечательный предел

Следствия

1.

2.

3.

4.

для ,

35(10)Таблица эквивалентных бесконечно малых

11. Непрерывность отображения. Непрерывность числовой функции одной переменной, нескольких переменных.

Ф-ция f(x) наз. непрерывной в точке x₀ слева, если существует предел этой ф-ции слева и он = значению f(x₀). При x→x₀-0 lim f(x)=f(x₀-0)=f(x₀). Аналогично и для непрерывности справа. Если ф-ция непрерывна как слева, так и справа в т. x₀, то она непрерывна в самой т. x_0. Отсюда вытекает: f(x₀-0)= f(x₀+0)=f(x₀). Таким образом, ф-ция непрерывна в т.x₀, если при x→x₀ lim f(x)= f(x₀). БМ приращению аргумента x будет соответствовать БМ приращение ф-ции y=f(x): при ∆x→0 lim ∆y=0. Аналогично и для ф-ции нескольких переменных.

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

Можно ввести приращение Δu функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов Δu = f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y) и на этом языке определить непрерывность f(x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если

Если условия непрерывности нарушены, то ф-ция терпит разрыв.

37(12)Точки разрыва,классификация точек разрыва.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом. Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа. Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. иногда точку разрыва 1–го рода еще называют устранимой точкой разрыва Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной). частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так, и т.д. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной

формулу для вычисления полного дифференциала.

или где — частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

Теоре.(достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'_x и z'_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

38(13)

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие - .Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки . Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения и , что , причем . Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ). Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где . Т.е. если , то . Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что верно неравенство . Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого  существует свое , не зависящее от , а при “обычной” непрерывности зависит от и . Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Свойство 7: Если функция определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

Теорема 1 Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .

Доказательство. Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.

Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

Предложение 3.3 Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

Доказательство. Действительно, постоянные и -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения и . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма .

Теорема 2 Пусть функции и таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .

Доказательство. Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

Теорема 3 Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .

Теорема 4 Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .

14. Дифференциал отображения. Дифференциал и производная числовой функции одной переменной. Таблица производных. Дифференцируемость.

Пусть есть отображение, кот вычисляется так: ∆y=f(x+∆x)-f(x) (1). В общем случае ∆y зависит не только от ∆х , но и от нач.вектора х. Т.е. ∆y=∆y(x;∆x). Пусть при ∆х<ε приращение отображения (1) можно представить в виде ∆y=dy+0(|∆x|) (2) , где dy= dy(x;∆x). 0(|∆x|) – это БМ величина высшего порядка по сравнению с ∆x, т.е. при |∆x|→0 lim 0(|∆x|)/|∆x|=0. Величина dy называется дифференциалом отображения. Отображение, для кот. существует дифференциал, т.е. имеет место (2) , называется дифференцируемым. Понятие дифференцируемости можно рассм для отдельных точек Х или его подмножеств. Это общее понятие дифференциала. Его можно конкретизировать: 1) y=f(x): R→R; 2) для числ ф-ции многих переменных y=f(x₁,x₂…x_n): Rⁿ→R ; 3) для вектора ф-ции скалярного аргумента y=f(с палочкой)(x): R→ Rⁿ.

Линейное отображение по ∆x будет иметь вид a*∆x, где ∆xϵR, aϵR; При этом a может зависеть от нач.вектора х. Тогда dy=a(x)∆x (5). Отсюда согласно (2) ∆y= a(x)∆x+0(∆x). Разделим на ∆x и перейдем к пределу (все пределы при ∆x→0) lim ∆y/∆x=lim a(x) + lim 0(∆x)/ ∆x; y′=a(x); Таким образом, a(x) – производная ф-ции f(x), тогда (5) принимает вид dy=f ′(x)∆x. При рассм ф-ции y=x y′=x′=1, тогда dx=∆x, => dy=f ′(x)dx – дифференциал числовой ф-ции одной переменной. Отсюда следует, что f ′(x)= dy/ dx, т.е. производная ф-ции y=f(x) равна отношению дифференциала ф-ции к дифференциалу аргумента.

41(16)

Производные Функций Нескольких Переменных.

Рассмотрим функцию u = F(x), определенную в некоторой области D. Пусть − фиксированная точка. Дадим координате х₁ приращение . Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции F(x) по переменной х₁ и обозначается

Аналогично определяются частные производные по всем остальным переменным.

Замечания.

1. Частная производная по какой либо переменной есть обычная производная, при условии, что все остальные переменные – константы.

2. Последнее обозначение, в отличие от функций одной переменной, не равно частному от деления двух дифференциалов, а является неразрывным символом.

В частном случае двух переменных частная производная равна тангенсу наклона касательной к сечению поверхности плоскостью, перпендикулярной ко второй переменной.

Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Пусть задана функция . Если аргументу сообщить приращение , а аргументу – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
,
где и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке. Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается :
,
где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и

17.Производные неявной функции одной и нескольких переменных.

Как известно, неявная числовая ф-ция одной переменной y=y(x) опред уравнением F(x,y)=0 (1). В этом равенстве правую и левую части можно рассм как сложные ф-ции от х и продифференцировать: F_x′(x,y)=0_x′ ; (дF/дx)+(дF/дy)(dy/dx)=0; dy/dx=-(дF/дx)/(дF/дy), дF/дy≠0.

Рассм неявную ф-цию двух переменных. z=z(x,y) , F(x,y,z)=0. Применяя вышеприведенные способы, будем дифференцировать это выражение по x и по y: (дF/дx)+ (дF/дz)(dz/dx)=0; дF/дx≠0; dz/dx=-(дF/дx)/(дF/дz). Аналогично, dz/dy=-(дF/дy)/(дF/дz).

18.Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции 1ой переменной.

Для числовой ф-ии 2х переменных Z=f(x,y)частные производные высших порядков вводятся аналогично тому,как это сделано для ф-ии одной переменной ðz/ðx=fₓ’(x,y) ðz/ðy=f’y(x,y)

Дифференциал второго порядка определяется по формуле (d²z = d(dz). Найдем его:

Отсюда: Символически это записывается так:

Методом математической индукции можно показать, что

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = ƒ(х;у) являются независимыми.Если z = ƒ(х;у) — дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

44(19)

Частные производные высших порядков

Мы уже заметили, что частные производные первого порядка мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства переменных . От каждой из этих функций , в свою очередь, можно найти частные производные: производных от :

производных от :

и так далее до ; всего получается производных где . Производная обозначается также или . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции .

Если , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной , что и первое, то частная производная второго порядка называется чистой частной производной второго порядка по переменной и более кратко обозначается .

Если же , то частная производная второго порядка называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции можно отыскать чистых частных производных второго порядка и смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не , а вдвое меньше.

От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные: Эти производные (их штук) называются частными производными третьего порядка; от них можно найти частные производные четвёртого порядка

Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, означает то же самое, что