Первый замечательный предел

Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:

Первый замечательный предел - student2.ru .

Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.

Задача 2.1.в. Вычислить

Первый замечательный предел - student2.ru .

Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида Первый замечательный предел - student2.ru . При Первый замечательный предел - student2.ru получаем:

Первый замечательный предел - student2.ru

Прежде всего, сделаем замену переменной Первый замечательный предел - student2.ru , так, чтобы новая переменная Первый замечательный предел - student2.ru стремилась к 0, когда Первый замечательный предел - student2.ru :

Первый замечательный предел - student2.ru

Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем

Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru .

Отсюда

Первый замечательный предел - student2.ru .

Пусть сначала Первый замечательный предел - student2.ru , тогда Первый замечательный предел - student2.ru . Чтобы свести полученное выражение к формуле Первый замечательный предел - student2.ru , поделим и умножим Первый замечательный предел - student2.ru на Первый замечательный предел - student2.ru , а Первый замечательный предел - student2.ru на Первый замечательный предел - student2.ru :

Первый замечательный предел - student2.ru

Заменяя пределы дробей Первый замечательный предел - student2.ru и Первый замечательный предел - student2.ru на 1, получаем

Первый замечательный предел - student2.ru

При Первый замечательный предел - student2.ru имеем Первый замечательный предел - student2.ru , и предел отличается только знаком:

Первый замечательный предел - student2.ru .

Второй замечательный предел.

Справедлива формула

Первый замечательный предел - student2.ru

Задача 2.1.г.Вычислить Первый замечательный предел - student2.ru .

Решение. Выделим в основании показательной функции выражение вида Первый замечательный предел - student2.ru , где Первый замечательный предел - student2.ru при Первый замечательный предел - student2.ru . Для этого прибавим и вычтем 1 из Первый замечательный предел - student2.ru :

Первый замечательный предел - student2.ru

Получаем:

Первый замечательный предел - student2.ru

Используя формулу второго замечательного предела, заменим выражение Первый замечательный предел - student2.ru в пределе при Первый замечательный предел - student2.ru на Первый замечательный предел - student2.ru :

Первый замечательный предел - student2.ru

Осталось найти предел показателя степени:

Первый замечательный предел - student2.ru

Ответ: Первый замечательный предел - student2.ru

Комбинация первого и второго замечательных пределов.

Задача 2.1.д.ВычислитьПервый замечательный предел - student2.ru .

Решение. Убедимся сначала, что мы имеем дело с неопределенностью вида Первый замечательный предел - student2.ru . Предел основания степени равен Первый замечательный предел - student2.ru .Предел показателя степени равен Первый замечательный предел - student2.ru .Неопределенность вида Первый замечательный предел - student2.ru указывает, что для ее раскрытия следует воспользоваться вторым замечательным пределом. Выделим структуру второго замечательного предела Первый замечательный предел - student2.ruв нашей формуле:

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Теперь остается найти предел показателя степени. Делая замену переменной Первый замечательный предел - student2.ru , получаем

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Ответ: Первый замечательный предел - student2.ru .

Особенность вида Первый замечательный предел - student2.ru .

Задача 2.1.е.Вычислить Первый замечательный предел - student2.ru

Решение. Чтобы свести данный предел к формуле первого замечательного предела, проведем следующее преобразование:

Первый замечательный предел - student2.ru .

Мы воспользовались формулой

Первый замечательный предел - student2.ru .

Поскольку

Первый замечательный предел - student2.ru ,

получаем

Первый замечательный предел - student2.ru .

Остается сделать замену Первый замечательный предел - student2.ru , откуда Первый замечательный предел - student2.ru , Первый замечательный предел - student2.ru , Первый замечательный предел - student2.ru .

В результате получаем

Первый замечательный предел - student2.ru

Ответ: Первый замечательный предел - student2.ru .

Производные.

Производной функции Первый замечательный предел - student2.ru в точке Первый замечательный предел - student2.ru называется предел

Первый замечательный предел - student2.ru .

Наряду с обозначением Первый замечательный предел - student2.ru для производной используется еще обозначение Первый замечательный предел - student2.ru .

Производные основных элементарных функций приведены в следующей таблице.

Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru
Первый замечательный предел - student2.ru Первый замечательный предел - student2.ru

Рассмотрим дифференцирование степенной функции при некоторых Первый замечательный предел - student2.ru .

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Первый замечательный предел - student2.ru

Имеется два основных приема дифференцирования функций

1) Формуладифференцирования произведения и частного двух функций

Первый замечательный предел - student2.ru ,

Первый замечательный предел - student2.ru .

2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)

Первый замечательный предел - student2.ru .

Наши рекомендации