Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители.
Пусть Pn (z) – многочлен степени n, а z1 – его корень. Тогда по теореме Безу Pn (z) можно представить в виде:
Pn (z) = (z – z1) Qn-1 (z),
где Qn-1 – многочлен степени n – 1. Если при этом Qn-1 (z1) = 0, его вновь можно представить как ( z – z1 )Qn-2 (z), a Pn (z) = (z – z1)Qn-2 (z).
Определение 8.3. Натуральное число k1 называется кратностью корня z1 многочлена Pn (z), если этот многочлен делится на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым,а корень кратности, большей 1, - кратным.
Итак, если z1 – корень Pn кратности k1 , то Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен тоже имеет корень. Обозначим его z2 , а его кратность k2 . Тогда а , (8.2)
где Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители.
Разложение многочлена с действительными коэффициентами
На линейные и квадратичные множители.
Определим для Pn (z) многочлен , где - число, комплексно сопряженное коэффициенту ai . При этом . Следовательно, если z0 – корень Pn , то - корень . Если коэффициенты Pn – действительные числа, то , и если z0 = a + ib – его корень кратности k, то - тоже его корень, причем той же кратности. Но - квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом. Если теперь применить к многочлену с действительными коэффициентами от действительной переменной Pn (x) формулу (8.2), то
(8.3)
то есть всякий многочлен на множестве действительных чисел можно разложить на множители степени не выше второй.
Рациональные дроби.
Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q. Любую неправильную дробь можно представить в виде: , где P(z) = Q(z) S(z) + R(z), a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z). Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь и z0 – корень ее знаменателя кратности k, т.е. то существуют число А и многочлен P1(z) такие, что
, (8.4)
где последнее слагаемое является правильной дробью.
Доказательство.
. При этом последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем число А так, чтобы z0 было корнем многочлена P(z) – AQ1(z), то есть . Тогда по теореме Безу . Лемма доказана.
Замечание. Если коэффициенты многочленов Р и Q и выбранный корень знаменателя – действительные числа, то и коэффициенты многочленов P1 и Q1 – тоже действительные числа.
Теорема 8.3. Если - правильная рациональная дробь и , то существуют такие комплексные числа что
. (8.5)
Доказательство.
Применив k1 раз лемму 1 к дроби , получим:
где . Применяя затем ту же лемму к остальным корням знаменателя, придем к формуле (8.5).
Лемма 2. Пусть Р(х) и Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами, причем Q(x) = ( x² + px + q)m Q1(x), где p² - 4q < 0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р1(х), что
(8.6)
где последнее слагаемое тоже является правильной дробью.
Доказательство.
(8.7)
где последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем В и С такими, чтобы число z0 =x0 +iy0 (корень многочлена z² + pz + q) было корнем многочлена P(х)-(Bх+C)Q1(х). Можно показать, что при этом где .
Следовательно, В и С – действительные числа, а z0 и (число, комплексно сопряженное z0) – корни многочлена P(х)-(Bх+C)Q1(х). Тогда по теореме Безу он делится на
. Поэтому последнюю дробь в равенстве (8.7) можно сократить на x² + px + q и получить равенство (8.6).
Используя эту лемму, можно доказать следующую теорему:
Теорема 8.4. Если - правильная рациональная дробь, а
где то существуют такие действительные числа
что
. (8.8)
Примеры.
1. . Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х, следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей должны быть равными. Отсюда , то есть А = 1, В = -1. Следовательно, исходную дробь, знаменатель которой имеет только действительные корни (причем простые, то есть кратности 1) можно представить в виде: .
2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях, получаем:
, откуда А = 1, В = -3, С = 3, D = 5. Таким образом, данную дробь, знаменатель которой имеет действительный корень х = 0 кратности 2 и комплексно сопряженные корни преобразуем в сумму дробей:
.
Лекция 9. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
В пошлой лекции было показано, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде линейной комбинации дробей вида:
1) , 2) , 3) , 4) . (9.1)
Эти дроби называются простейшими (или элементарными) дробями. Выясним, каким образом они интегрируются.
1)
2) (9.2)
3) (9.3)
Сделаем замену и обозначим . Тогда требуется вычислить интеграл
(9.4)
4) При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой, что и в предыдущем случае, и представим подынтегральное выражение в виде:
где Рассмотрим отдельно способ интегрирования In .
. (9.5)
Таким образом, получена рекуррентная формула, позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к
Итак, интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией.
Теорема 9.1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим рациональную дробь в виде: (см. лекцию 8). При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 8.4 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Пример.
Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
Из ранее доказанного следует, что любую рациональную дробь можно проинтегрировать, поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной, если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби. В частности, для интегралов вида , где R – рациональная функция (многочлен или рациональная дробь), r1 ,…,rn – дроби с одним и тем же знаменателем m , а , замена приводит к . Таким образом, х является рациональной функцией t, следовательно, его производная тоже будет рациональной функцией. Кроме того, - тоже рациональные функции от t (так как pi – целое число). Поэтому после замены подынтегральное выражение примет вид R1 (t)dt , где R1 – рациональная функция, интегрируемая описанными выше способами.
Замечание. С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида , и, в частности,
Примеры.
1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,
2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому
Лекция 10. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.
Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
1. Интегралы вида вычисляются с применением формул (10.1) Пример.
2. Интегралы вида , где т и п – целые числа, интегрируются с помощью замен: а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, т), можно сделать замену t = sin x (или t = cos x при нечетном п). Пример 1. Пример 2. б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул . Пример. в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x. Пример.
3. Интегралы вида где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: , тогда , (10.2) то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t. Пример. Если подынтегральная функция имеет вид R (sin²x, cos²x), можно выбрать замену t = tg x. При этом , (10.3) и степень полученной рациональной функции будет ниже, чем при универсальной тригонометрической подстановке, что облегчает дальнейшее интегрирование. Пример.
Интегрирование квадратичных иррациональностей.
При вычислении интегралов свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены:
а) при этом dx = acos t dt, .
б) tg t, тогда ,
в) соответственно
Пример 1. Вычислим интеграл Пусть тогда
Заметим, что
. Поэтому ответ можно представить в виде:
Пример 2. Для вычисления интеграла выберем замену x = 3tg t. При этом
, где u = sin t . Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим:
(Учитываем, что ).
Пример 3. Вычислим интеграл с помощью замены . Тогда
Интегрируемость в элементарных функциях.
В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций. Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы, то есть имеют первообразные, также являющиеся элементарными функциями. В качестве примеров можно привести функции и другие. Этим операция интегрирования отличается от дифференцирования, при котором производная любой элементарной функции является тоже элементарной функцией. Для отыскания интегралов от функций, не имеющих элементарной первообразной, вводятся и используются новые классы функций, не являющихся элементарными.
Лекция 11.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем для определенного интеграла.
Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг,
объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие.
Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек xi : a=x1 < x2 <…< xn-1 < xn=b. При этом точки xi называются точками
. y
y=f(x)
x
х0=а x1 хп-1 хп=b
разбиения, отрезки [xi-1, xi] – отрезками разбиения (их длины обозначаются Δxi), а число
| τ | = max ( Δx1, Δx2,…, Δxn )
называется мелкостью разбиения.
Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξi и составим сумму вида
, (11.1)
называемую интегральной суммой функции f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi ).
Определение 11.1. Если для любого разбиения отрезка [a, b] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при и :
= I , (11.2)
то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b ], а число I называется определенным интеграломf(x) на [a, b] и обозначается Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Кроме того, определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями:
1) , 2)
Теорема 11.1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем.
Доказательство. Пусть f (x) интегрируема на [a,b] и . Зафиксируем какое-либо ε, например, ε = 1. По определению 11.1 существует такое δ > 0, что для любой интегральной суммы στ, соответствующей разбиению, для которого |τ| < δ, верно неравенство | στ – I | < 1, откуда I – 1 < στ < I + 1, то есть множество интегральных сумм функции f (x) ограничено.
Если предположить при этом, что f (x) неограничена на [a,b], то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения. Тогда произведение f (ξi)Δxi на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения, то есть интегральная сумма оказывается неограниченной, что противоречит условию интегрируемости f (x).
Замечание. Условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле
f (x) = 1, если х рационально, и f (x) = 0, если х иррационально. Для нее на любом отрезке [a,b] и при любом разбиении на каждом отрезке Δxi найдутся как рациональные, так и иррациональные значения х. Выбрав в качестве ξi рациональные числа, для которых f (ξi )= 1, получим, что = b – a. Если же считать, что ξi – иррациональные числа, то = 0. Следовательно, предел интегральных сумм не существует, и функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке.