Разложение многочлена на множители

Определение 1:Функция f(x)=A₀xⁿ+A₁x^n-1+A₂x^n-2+…+A_n-1x+A_n, где п — целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от х; число п называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты A₀, A₁,..., А_п — действительные или комплексные числа; независимая переменная х также может принимать как действительные, так и комплексные значения.

Определение 2: Корнем многочлена называется такое значение переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу): При делении многочлена f(x) на разность х-а получается остаток, равный f(a).

Следствие: Если а есть корень многочлена, т. е. f(a)=0, то f(x) делится без остатка на х-а и, следовательно, представляется в виде произведения

f(x)=(x-a)f₁(x), где f₁(x) — многочлен.

Пример:

Разложим многочлен на множители: f(x)=x³-2x²+3x-2

Выпишем делители свободного члена: ±1; ±2.

x=1 – корень многочлена, так как f(1)=0.

x³-2x²+3x-2 |x-1

x³-x² x²-x+2

-x²+3x-2

-x²+x

2x-2

2x-2

f(x)=x³-2x²+3x-2=(x-1)(x²-x+2)

Будем рассматривать уравнения с одним неизвестным х.

Определение 3:Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения.

Определение 4:Если уравнение имеет вид Q(x)=0, где Q(x)- многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени п.

Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Q(x)=0 те же, что и корни многочлена Q(x).

Вопрос: Всякое ли уравнение имеет корни?

В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного.

В случае алгебраического уравнения ответ положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры:

Теорема 2: (основная теорема алгебры).Всякая целая рациональная функция f(x) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре.

Теорема 3:Всякий многочлен n-й степени разлагается на n линейных множителей вида х-аи множитель, равный коэффициенту при х^п.

или

Каждый многочлен Q(x) может быть представлен в виде произведения:

Q(x)=A₀(x-а₁)(x-а₂)…(x-а_n),

где A₀ — коэффициент при старшей степени многочлена Q(x), а а₁, а₂, …, а_n - корни уравнения Q(x)=0.

Множители (x-а₁), (x-а₂), …, (x-а_n) называются элементарными множителями.

Многочлен п-й степени не может иметь более чем п различных корней.

Виды многочленов:

Многочлен n-ой степени	А0хn+А1хn-1+…+Аn-2х2+Аn-1х+Аn или Ахn+Вхn-1+…+Uх2+Vх+W	Примеры
Многочлен четвёртой степени	Ах4+Вх3+Сх2+Dх+E	-х4-2х3+3х2+8, где А=-1; В=-2; С=3; D=0; E=8;
Многочлен третьей степени	Ах3+Вх2+Сх+D	2х3-х2+4х, где А=2; В=-1; С=4; D=0;
Многочлен второй степени	Ах2+Вх+С	-х2+4х-3, где А=-1; В=4; С=-3;
Многочлен первой степени	Ах+В	х+8, где А=1; В=8;
Многочлен нулевой степени	А	1, где А=1.

Кратные корни многочлена.

Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители

Q(x)=A₀(x-а₁)(x-а₂)…(x-а_n)

некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:

Q(x)=A₀(x-а₁)^k1(x-а₂) ^k2…(x-а_m) ^km, где k₁+k₂+…+k_m=n и m£n.

В этом случае корень х=а₁называется корнем кратности k₁или k₁-кратным корнем, х=а₂ — корнем кратности k₂ и т.д.

Например:

3·х⁵·(х+2)³·(х-1)²·(х-2)²·(х+5)

х=0 пятикратный корень; х=-2 трёхкратный корень; х=1 двукратный корень;

х=2 двукратный корень; х=-5 однократный корень.

Если многочлен имеет корень х=а кратности k, то мы будем считать, что многочлен имеет k одинаковых корней.

Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема.

Теорема 1:Всякий многочлен п-й степени имеет ровно п корней (действительных или комплексных).

Рассмотрим квадратный трёхчлен ах²+bx+c:

D>0 существует два различных действительных корня;

D=0 существует два совпавших действительных корня;

D<0 существует два различных комплексных (сопряжённых) корня.