Правило Лопиталя. (Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения: Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. Доказательство. Применив формулу Коши, получим: где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0: Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать: Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. Пример: Найти предел . Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида, f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Пример: Найти предел . Здесь y = x^x, lny = xlnx.

2. Монотонность функции. Достаточные условия монотонности функции.

3. Определение точек экстремума. Необходимый признак точек экстремума.

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные. Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке. Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум. Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство: , т.е. Тогда По определению: Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x₁) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x₁) £ 0.А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x₁) = 0. Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично. Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум. Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю. Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно. Пример: f(x) = ôxô рис1 Пример: f(x) = рис2 В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной. В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю. Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁). Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство. Пусть По теореме Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f¢(e)(x – x₁), где x < e < x₁. Тогда: 1) Если х < x₁, то e < x₁; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁). 2) Если х > x₁, то e > x₁ f¢(e)<0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁). Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума.

4. Доказать 1-ый достаточный признак точек экстремума.

5. Доказать 2-ой достаточный признак точек экстремума.

6. Определение выпуклости и вогнутости графика функции на интерва­ле. Доказать достаточные условия выпуклости и вогнутости.