Непрерывность функции на множестве.

Опр. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Все основные элементарные функции непрерывны в области определения.

Пример.

Исследовать на непрерывность функции:

; ;

11.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Если функция , заданная на , непрерывна на этом отрезке, то она ограничена на этом отрезке, т.е. .

Теорема 2 (Вейерштрасса). Непрерывная на функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Теорема 3 (о промежуточном значении). Пусть функция , заданная на , непрерывна на этом отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные значения. Тогда она принимает и все значения, расположенные на числовой оси между f(a) и f(b).

В частности, если непрерывная на функция принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то существует точка , такая, что f(c)=0.

12.Производная. Геометрический смысл производной.

Понятие производной функции.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке X.

Возьмем точку . Дадим аргументу x приращение так, чтобы . Тогда функция получит приращение .

Опр. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Производную функции обозначают также , . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Выясним геометрический смысл производной. Проведем секущую АВ. Из следуют соотношения: .

При точка В будет двигаться по дуге к т. А, и секущая АВ будет стремиться к положению касательной, т.е.

,

где - угол между касательной к графику в т. и положительным направлением оси Ох. Таким образом, в геометрическом смысле производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

13.Производные основных элементарных функций (одна с выводом).

Функция	Производная		Функция	Производная
C

14.Дифференцируемость функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Дифференцируемость функции.

Опр. Числовая функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

,

где А – некоторое число, - функция от , являющаяся бесконечно малой при .

Утв. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема1 (о связи между непрерывностью и дифференцируемостью).

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Док-во. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда, по определению, ее приращение можно представить в виде . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:

, что соответствует определению непрерывности функции.▲

Теорема 1 является необходимым (но не достаточным) признаком дифференцируемости функции в точке. Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

15.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (все с доказательством).

Теорема Ферма. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда =0.

Док-во. Пусть - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда при : , .

При : , .

Если функция по условию дифференцируема в т. , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при =0.▲

Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

Теорема Ролля (о среднем).Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т. , такая, что .

Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма. ▲

Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует т. , такая, что .

(или , эта формула называется формулой конечных приращений).

Док-во. Введем новую функцию . Она непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т. , такая, что или:

, откуда . ▲

16.Правила дифференцирования (одно с доказательством)