Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа БМ Ф есть БМФ при .

2. Произведение БМ Ф на ограниченную в некоторой окрестности точки функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ) есть БМ Ф.

3. Частное от деления БМ Ф на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМ Ф.

Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМ Ф из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и .

Докажем, например, свойство 1.

Пусть и есть БМ Ф. Докажем, что функция также есть БМ Ф.

По условию для любого , а значит, и для найдутся такие числа и , что :

если , то

(1)

если , то

(2)

Если в качестве взять минимальное из и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:

.

Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:

.

Итак, мы нашли , такое, что при всех выполняется неравенство . Это и означает, что функция есть БМ Ф. ▲

Свойства бесконечно больших функций.

1. Произведение ББ Ф на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББ Ф.

2. Сумма ББ Ф и ограниченной функции есть ББ Ф.

3. Сумма ББ Ф одного знака есть ББ Ф того же знака.

4. Частное от деления ББ Ф на функцию, имеющую конечный предел, есть ББ Ф.

5.Теорема о связи предела и бесконечно малой функции (с док.). Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (без док.). Сравнение бесконечно малых функций.

Теорема 1. (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция

y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при .

Док-во. Имеем:

=А .

Надо доказать, что -А)=0, т.е.

. Очевидно, что это условие выполнено. ▲

Следствие. Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при функции : .

Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если есть БМ Ф, и в некоторой окрестности точки , то функция есть ББ Ф. Если есть ББ Ф, то функция есть БМ Ф.

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть и - БМ Ф. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.

. Тогда если:

1) А – число, не равное 0 или 1, то функции и называются БМ одинакового порядка.

2) А=0, то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем и обозначают: (о малое).

Пример:

, - БМ при х→0,

3) А= , то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем .

4) А =1, то функции и называются эквивалентными БМ , обозначается: ~ .

Свойства эквивалентных БМ

1. ~ ↔ ~ (рефлексивность)

2. ~ , ~ ↔ ~ (транзитивность)

3. ~ → эквивалентные БМ отличаются друг от друга на БМ высшего порядка малости.

4. Под знаком предела в отношении или произведении БМ можно заменять эквивалентными БМ.

6.Основные теоремы о пределах. Необходимые условия существования конечного предела функции.

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x) => .

Теорема ( о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то верно и неравенство: .

Теорема. Предел постоянной равен самой постоянной: .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть и , . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

- БМ при ,

- БМ при . Вычитая эти равенства, получим:

.

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

,

.

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲