Основные правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru.

2.Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

3.Производная частногодвух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: Основные правила дифференцирования. - student2.ru ( Основные правила дифференцирования. - student2.ru Основные правила дифференцирования. - student2.ru ).

Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).

Рассмотрим функцию Основные правила дифференцирования. - student2.ru . Дадим аргументу Основные правила дифференцирования. - student2.ru приращение Основные правила дифференцирования. - student2.ru , аргументу Основные правила дифференцирования. - student2.ru приращение Основные правила дифференцирования. - student2.ru . Соответственно, их произведение получит приращение

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Составим отношение Основные правила дифференцирования. - student2.ru . Переходя в этом равенстве к пределу при Основные правила дифференцирования. - student2.ru , получим:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

4. Дифференцирование обратной функции.

Если функция Основные правила дифференцирования. - student2.ru имеет обратную функцию Основные правила дифференцирования. - student2.ru и Основные правила дифференцирования. - student2.ru , то обратная функция дифференцируема в точке Основные правила дифференцирования. - student2.ru , причем

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

5.

Дифференцирование сложной функции.

Если функции Основные правила дифференцирования. - student2.ru и Основные правила дифференцирования. - student2.ru дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции Основные правила дифференцирования. - student2.ru существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

Основные правила дифференцирования. - student2.ru

17.Уравнение касательной к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции.

Выведем уравнение касательной к графику функции Основные правила дифференцирования. - student2.ru в точке Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Будем искать это уравнение в виде у=кх+в.

Т.к. прямая проходит через данную точку, то

Основные правила дифференцирования. - student2.ru , откуда Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Тогда Основные правила дифференцирования. - student2.ru . А поскольку Основные правила дифференцирования. - student2.ru , то

Основные правила дифференцирования. - student2.ru - уравнение касательной.

Пример. Составить уравнение касательной к графику функции Основные правила дифференцирования. - student2.ru в точке (2;4).

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

18.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Производные высших порядков.

Если функция Основные правила дифференцирования. - student2.ru дифференцируема в точке, то она имеет производную в этой точке, которая также является функцией от х и также может быть дифференцируемой.

Производной второго порядка или второй производной Основные правила дифференцирования. - student2.ru функции Основные правила дифференцирования. - student2.ru называется производная от ее производной:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Вторая производная также может быть обозначена символами Основные правила дифференцирования. - student2.ru , Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например: Основные правила дифференцирования. - student2.ru или Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Опр. Производной n-го порядканазывается производная от производной (n-1)-го порядка: Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Пример. Найти вторую производную функции Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Решение. Основные правила дифференцирования. - student2.ru ;

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Правило Лопиталя

предлагает эффективный способ раскрытия неопределенностей Основные правила дифференцирования. - student2.ru и Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или бесконечен):

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Пример1. Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Пример 2. Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Пример 3. Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Пример 4. Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

19.Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Связь между производной и дифференциалом. Свойства дифференциала.

Дифференциал.

Пусть функция Основные правила дифференцирования. - student2.ru определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки Основные правила дифференцирования. - student2.ru Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Тогда существует конечная производная Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

По теореме о связи предела и бесконечно малой:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru , где Основные правила дифференцирования. - student2.ru - бесконечно малая при Основные правила дифференцирования. - student2.ru . Отсюда

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Таким образом, приращение функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно Основные правила дифференцирования. - student2.ru и бесконечно малого при Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Опр. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Основные правила дифференцирования. - student2.ru часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Рассмотрим функцию у=х и найдем ее дифференциал.

Основные правила дифференцирования. - student2.ru . Таким образом, формула дифференциала может быть записана в виде:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru.

Пример. Найти дифференциал функции Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Выясним геометрический смысл дифференциала. Из Основные правила дифференцирования. - student2.ru : Основные правила дифференцирования. - student2.ru . Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Основные правила дифференцирования. - student2.ru Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1. d(С)=0;

2. d(u+v)=du+dv;

3. d(uv)=vdu+udv;

4. Основные правила дифференцирования. - student2.ru ;

5. Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

Опр. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) Основные правила дифференцирования. - student2.ru называется дифференциал от дифференциала функции, т.е.:

Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

Аналогично, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала (п-1)-го порядка этой функции: Основные правила дифференцирования. - student2.ru .

20.Эластичность функции, ее свойства. Эластичность спроса по цене.

21.Возрастание и убывание функций. Критерий монотонности функции.

Наши рекомендации