Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на заданном промежутке

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

Алгоритм решения задачи 2.
1) Найти производную функции .
2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.
3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее).

Правило раскрытия неопределенности Лопиталя-Бернулли

Теорема Лопиталя (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Теорема Лопиталя:

Если:

1. или ;

2. и дифференцируемы в окрестности ;

3. в окрестности ;

4. существует ,

то существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Касательная к плоской кривой. Выпуклость и вогнутость плоской кривой

Касательной к линии в точке называется прямая , служащая предельным положением секущих (прямых ), при условии, что точка приближается, следуя по линии , к точке касания .

Уравнение касательной к графику при , то есть касательной, проходящей через точку с угловым коэффициентом, равным производной функции в точке :

Выпуклость и вогнутость плоской кривой

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. , то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1^′. Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. , то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

Точки перегиба графика функции. И нахождение.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если вторая производная f’’ (a) = 0 или f’’ (a) не существует и при переходе через точку х = а производная f’’(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Асимптоты

Асимптота — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1.

2.

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1.

2.

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение вертикальных асимптот.

2. Нахождение двух пределов

3. Нахождение двух пределов :

если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .