| № п/п | Примеры ПП 16 9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин |
| №24 |  Площадь поверхности сферы равна  . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу? Обозначим высоту цилиндра  ,  . По условию  ,  . Из  :  . Объем цилиндра  . По смыслу задачи  , т.е.  . Исследуем функцию  на этом интервале. Производная  при  , вблизи этого значения  меняет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим. |
| №25 | Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене  руб., то его годовая прибыль  составит  руб. Определите  , при котором прибыль будет максимальной.  при  , при этой цене прибыль будет максимальной. |
| пп 16. I. исследование функций |
| № п/п | ЗАДАЧИ |
| ПП16.I №1 | Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции  . РЕШЕНИЕ: Функция  не определена при  .  ,  при  . Функция  возрастает при  ; убывает при  ;  – точка минимума. |
| ПП16.I №2 | Найдите экстремумы функции  .  ,  ,  . 
Вид графика функции  . |
| ПП16.I №3 | Исследуйте функцию  на возрастание (убывание) и экстремумы.  РЕШЕНИЕ: Функция  определена для  . Производная функции  обращается в ноль при  и  ,  при  ,  при  , то есть в точке  функция принимает минимальное значение. |
| ПП16.I №4 | Исследуйте функцию  на возрастание (убывание) и экстремумы. РЕШЕНИЕ: Производная функции   .  при  , второй множитель положителен при любых  . Знак производной совпадает со знаком  : при    функция убывает; при   функция возрастает, в точках  достигается максимальное  , а в точках  – минимальное  значения функции  . |
| ПП16.I №5 | Исследуйте функцию  на возрастание (убывание) и экстремумы. РЕШЕНИЕ: Производная функции представляет собой многочлен, который мы преобразуем следующим образом:    , откуда видно, что при любых  , значит, функция возрастает для всех  и экстремумов не имеет. |
| ПП16.I №6 | Исследуйте функцию  и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1)  ,  - точка пересечения с осями. 2) f (x) – непрерывна всюду  вертикальных асимптот нет.   - наклонная (горизонтальная) асимптота при   наклонных асимптот при  нет. 3)  ,  . 4)   ,   . | х |  |  |  |  |  | | у |  |  | |  | |  | + | | – | – | – |  | – | – | – | | + | | |  | max | | перегиб |  | Вид графика функции  . |
| ПП16.I №7 | Сколько раз график функции  пересекает ось  ? РЕШЕНИЕ: Функция определена для всех  , не обладает определенной четностью, непериодическая.  ;  при  и  . График функции  пересекает ось  в одной точке  . Построим схему.  |
| ПП16.I №8 | Исследуйте функцию  и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1) Область определения функции:  ; эти точки являются точками разрыва функции; при  функция  ; при  ,  .  2) Функция нечетная:  . Построим график для  и отобразим его нечетным образом относительно начала координат. 3) Точка пересечения с осью определяется условием  ,  ,  для всех  из области определения, т.е. функция является убывающей и не имеет экстремумов. |
| ПП16.I №9 | Исследуйте функцию  и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1) Функция определена всюду, кроме точки  . График функции имеет вертикальную асимптоту  . 2) Точка пересечения с осями:  . 3) Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:  ;   является наклонной асимптотой. 4) Находим производную:  . Знак производной определяется знаком дроби  . При  и   , а при   . Интервалы возрастания есть  и  ; интервал убывания  . В области определения функции производная существует всюду и обращается в ноль при  и  . При , а при  . Следовательно, точка является точкой максимума. Находим значение функции при :  При переходе через другую критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума. 5) Находим вторую производную  . Видим, что  при  , интервал  является областью выпуклости. также при  - это тоже область выпуклости;  при  - это область вогнутости. В области определения функции  существует всюду;  при . Так как при переходе через эту точку меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим  | х |  |  |  |  |  |  |  | | у | |  | |  |  | | | | | + | | – | | + | | + | | | – | – | – | | – | | + | | | | max | | | | перегиб | | График имеет вид  |
| ПП16.I №10 | Исследуйте функцию  и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1). Функция определена всюду, кроме точек  . Точки пересечения графика с координатными осями:    - точка пересечения с осями. 2). Функция нечетная,  , график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при  . 3). Точка  является точкой разрыва II-рода, график функции имеет вертикальную асимптоту ,  ,  . Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:  ;  , т.е.,  является правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя). 4). Находим производную:  . Знак производной определяется знаком  . При  , а при  и  . Интервал возрастания -  ; интервалы убывания -  и  . В области определения функции производная обращается в нуль при и  . При  , а при . Следовательно, точка является точкой минимума. Находим значение функции при :  . При переходе через критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума. 5). Находим вторую производную  . Видим, что при , на интервале  график функции выпуклый вверх. При - график функции выпуклый вниз. В области определения функции существует всюду; при . Так как при переходе через эту точку  меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим | х | |  |  |  |  |  | | у | | | | |  | | | | | – | | – | | – | | | | – | | + | + | + | | | перегиб | | | | min | | График  имеет вид:
|
| ПП16.I №11 | Исследуйте функцию  и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1). Так как функция периодична с основным периодом  , достаточно исследовать ее поведение на промежутке, длиной равном периоду, например, на  . Арктангенс определен для всех значений аргумента, поэтому областью определения сложной функции  будут промежутки оси  , на которых  , т.е., для промежутка это будет  . Для  , область значений  . Точки пересечения графика с координатными осями: при  котангенс не определен, точек пересечения с осью  нет. Точки пересечения с осью находим, решая уравнение   . 2). Четностью или нечетностью функция не обладает. 3). Точка не является точкой разрыва, так как  не определена,  . Поскольку на каждом периоде график  лежит в конечной области плоскости  , асимптот у графика существовать не может. 4). Найдем производную:  . Для   ,  , т.е., на каждом отдельном промежутке области определения функция монотонно убывает. 5).  Найдем вторую производную  . Корень уравнения  на -  . При  график функции выпуклый вниз, при  - график функции выпуклый вверх. Точка графика  - точка перегиба. График имеет вид |
| ПП16.I №12 | Постройте график функции  . Область определения функции:  , это точка бесконечного разрыва функции,  для всех  ;  при  ;   при  .  Построим схему. |
Наши рекомендации
