Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области
Геометрическая постановка задачи.Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.
Последовательность действий:
1. Построить область допустимых решений системы линейных неравенств 
Если область непустая, то можно говорить о целесообразности нахождения в ней наибольшего и наименьшего значений функции.
В
| |||
 | |||
A
|
|
х 2. Построить градиент 
и одну из линий уровня 
функции 
.
3. Параллельным перемещением прямой в направлении вектора геометрически найти две точки:
· точку А «входа» в область. Эта точка определяет точку наименьшего значения функции 
;
· точку В «выхода» из области. Эта точка определяет точку наибольшего значения функции .
4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции 
. Аналогично – для точки В и наибольшего значения функции 
.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области решений системы линейных неравенств
Решение. Построим область решений системы линейных неравенств. Для этого построим полуплоскости и найдём их пересечение. В качестве контрольной точки возьмём точку 
, которая не принадлежит граничным прямым.
у 
1 
О 2 x
Прямая ( ) 
, точки для построения 
и 
. Так как 
верно, то полуплоскость обращена в сторону точки 
.
Прямую ( ) 
строим по точкам 
и 
; неравенство 
верное, полуплоскость направлена к началу координат.
Прямая ( ) 
построена по точкам 
и 
; полуплоскость обращена в сторону .
Неравенства 
и 
показывают, что искомая область (пересечение всех полуплоскостей) находится в первой координатной четверти.
2. Построим градиент функции – вектор с координатами 
с началом в точке 
. Перпендикулярно градиенту построим одну из линий уровня.
3. Параллельным движением линии уровня в направлении градиента 
найдем точку ее «входа» в область – это точка О(0,0). Вычислим значение функции в этой точке: 
.
4. Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области – это точка А. Для определения её координат решим систему уравнений прямых и : 
Решение системы уравнений 
и 
.
5. Вычислим значение функции в точке 
: 
.
Ответ: 
, 
.
Контрольные вопросы по теме 3:
1. В чём заключается геометрический смысл функции двух переменных?
2. Приведите схему графического решения линейного неравенства с двумя переменными.
3. Как построить многоугольник решений?
4. Опишите основные этапы графического решения задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области.