Определители третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, которое может быть вычислено по следующему правилу (правило Саррюса): к определителю справа приписывается первый и второй столбцы и элементы, стоящие на диагоналях полученной таблицы, перемножаются, а затем эти произведения складываются, причем произведения элементов на диагоналях, идущих снизу вверх, берутся со знаком минус:

_.

Примеры.

а) -

-15-24-24=0

б)

1.3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить определители второго и третьего порядка:

а) б) ; в)

Определители произвольного порядка

Пусть задан определитель n-го порядка

.

Для любого определителя выполнены свойства:

а) если в определителе две строки или два столбца равны, то определитель равен нулю:

б) если в определителе какая-либо строка или столбец состоит из нулей, то этот определитель равен нулю:

в) общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя:

г) если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то определитель изменит знак:

д) определитель не изменится, если к произвольной строке прибавить другую строку, домноженную на любое число. Это же справедливо и для столбцов. Например, в следующем определителе к третьей строке добавлена первая, домноженная на минус два:

Для вычисления определителей специального треугольного вида применимо следующее правило:

_.

Свойства определителей позволяют любой определитель свести к треугольному виду и вычислить его по указанному правилу.

Примеры.

а) (ко второй строке прибавляем первую, домноженную на (-2), к третьей строке прибавляем первую, домноженную на (-3), к четвертой строке прибавляем первую, домноженную на (-8))

(к третьей строке прибавляем вторую, домноженную на (-2))

(по второму свойству определителей).

б) (поменяем вторую и первую строки местами, чтобы иметь единицу на первом месте в первой строке) =

(ко второй строке прибавляем первую, домноженную на (-3) и т.д.) =

.

в) (к третьей строке прибавляем вторую, домноженную на (-1), к четвертой строке прибавляем третью, домноженную на (-1), для уменьшения чисел в первом столбце)

1.5. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить определители:

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие матрицы

Матрицей порядка n´m называется прямоугольная таблица чисел вида

.

Числа а_ij называются элементами матрицы. Матрицу будем коротко записывать = (а_ij) _n´m . Если n=m, то матрица называется квадратной порядка n.

Матрица с элементами (i,j=1,2,…,n) называется единичной матрицей n-го порядка.

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу А на число l, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.

Пример. Для матрицы найдем произведение . Из определения получаем

Сложение матриц

Если матрица В = (b_ij)_n´m имеет тот же порядок, что и матрица А = =(а_ij)_n´m, то можно определить их сумму - матрицу С = А + В = (c_ij)_n´m того же порядка - по правилу: с_{ij =} а_ij + b_ij для i =1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m. Матрицы различных порядков складывать нельзя.

Пример. Найдем сумму матриц А + В, где

Умножение матриц

Произведением матрицы А = (а_ij)_n´m на матрицу В = (b_ij)_m´p называется матрица С = А´ В = (с_ij)_n´p, построенная по правилу

Практически перемножение матриц осуществляется следующим образом: берут i-ю строку матрицы А, умножают ее поэлементно на j-й столбец матрицы В и эти произведения складывают. Полученное число является элементом матрицы С, стоящим в i-й строке и j-м столбце.

Пример. Найдем произведение матриц АВ, если

Внимание:

а) матрица А имеет порядок n´m, матрица В имеет порядок m´p, а их произведение АВ - порядок n´p;

б) в общем случае АВ ¹ ВА.

Примеры.

а) Найдем ВА, где матрицы А и В взяты из предыдущего примера:

б) Найдем значение матричного многочлена В = 2А² + 3А + 5Е, где

- единичная матрица третьего порядка.

Имеем

тогда

2.5. Задачи для самостоятельного решения

а) Найти произведение матриц АВ, где

б) Найти произведения АВ и ВА, где

в) Найти значение выражения 3А – ВС, где

Обратная матрица

Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е - единичная матрица порядка n.

Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы А = (а_ij)_n´m была определена обратная матрица:

а) n=m;

б) определитель матрицы А не равняется нулю:

Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:

а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;

в) перестановка строк;

г) отбрасывание нулевой строки.

Для нахождения обратной матрицы А^-1 применяется следующее правило:

а) выписывается матрица

(2.1)

б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу А^-1.

Примеры.

а) Для матрицы найдем обратную.

По приведенному выше правилу получаем:

Итак, обратная матрица А^-1 равна

б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где

Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А^-1. Тогда

ХАА^-1 + ВА^-1 = СА^-1. Так как АА^-1 = Е, то ХЕ + ВА^-1 = СА^-1 или

= СА^-1- - ВА^-1 =(С-В)А^-1.

Найдем разность матриц

Вычислим матрицу А^-1

Тогда Х = (С-В)А^-1 =

2.7. Задачи для самостоятельного решения

а) Найти А^-1, где

б) Решить матричное уравнение АХ =В, где

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Линейные системы уравнений

Дана система m уравнений с n неизвестными

. (3.1)

Решением этой системы называется любая совокупность n чисел (a₁, a₂,..., a_n), которая при подстановке в систему вместо совокупности неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она называется несовместной..

Матрицы

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей

системы (3.1).

Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы а_ii в матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в элементарных преобразованиях строк матрицы А₁ так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при элементарных преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, а_ii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i-й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:

Ступенек в преобразованной матрице может быть несколько, причем разной длины. Элементы, которые будут стоять в углах таких ступенек, назовем ступенчато-диагональными (в данном примере это: а₁₁, а₂₂, а₃₄, а₄₅, а₅₆, ...).

Примеры.

а) Проверим совместность системы

Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем элементарные преобразования над строками:

Из сказанного выше вытекает, что данная система совместна.

б) Исследуем на совместность систему

Записав расширенную матрицу системы, с помощью элементарных преобразований получаем

Таким образом, данная система несовместна.

Решение системы уравнений

После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки. Количество уравнений в этой системе определяет количество основных неизвестных. Все остальные неизвестные считаются свободными, им придаются произвольные значения. В качестве основных неизвестных берут неизвестные при ступенчато-диагональных элементах.

Примеры.

а) Построим общее решение системы из первого примера предыдущего пункта. После элементарных преобразований (см. выше) получаем систему

.

Уравнений два, поэтому считаем х₁ и х₂ (стоящие при ступенчато-диаго-нальных элементах) основными, а х₃ и х₄ свободными. Находим из системы основные неизвестные через свободные:

,

.

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

б) Решим систему

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

Выбираем в качестве основных переменные х₁ и х₃, как стоящие при ступенчато-диагональных элементах, переменная х₂ берется свободной. Итак,

и общее решение системы

3.3. Задачи для самостоятельного решения

Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных уравнений.

а) б)

в)