Определители второго и третьего порядков

Методические указания

к выполнению контрольной работы

по математике

для студентов заочной формы обучения направления

«Гостиничное дело», «Туризм»

Составитель: доцент кафедры ПМиИ, Пилосян Э.А. кафедры

Сочинского государственного университета

Рецензент:

Сочи – 2015

Порядок выполнения контрольной работы

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На обложку тетради наклеивается титульный лист (см. приложение 1). Номер варианта контрольной работы совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

Задачи решаются в том порядке, который указан в методическом пособии. Текст задачи переписывается.

Контрольная работа должна быть сдана в СГУ не позднее 15 декабря.

Если при решении задач возникают трудности, студент может обратиться за консультацией к преподавателю математики СГУ.

Задача 1.Решить систему линейных уравнений а) используя формулы Крамера; б) матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Справочный материал к заданию

Матрицы

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений , называемых элементами матрицы, .

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, причем .

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, что и матрица , причем .

Произведением матриц и (размеров m*n и n*r соответственно) называется матрица размера m*r, такая что .

Определители второго и третьего порядков

Определитель второго порядка a₁₁a₂₂ – а₁₂а₂₁, т. е. равен разности между произведением элементов на главной диагонали и произведением элементов на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется либо через определители второго порядка разложением по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца (например, при разложении по элементам первой строки):

,

либо по правилу треугольников: определитель равен алгебраической сумме произведений по три элемента согласно схеме:

где прямыми линиями соединены элементы определителя, произведение которых входит в сумму со своим знаком в случае А) и с противоположным знаком в случае Б), т.е.

D = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₃₁а₂₂а₁₃ – а₁₁а₃₂а₂₃ – а₃₃а₂₁а₁₂.

Системой m-линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

--------------------------------------

a_m1x₁ + a_m2х₂ + … + a_mnx_n = b_m

Эту систему можно записать в матричной форме:

А · Х = В,

где

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ b₁

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n , X = x₂ , B = b₂ .

----------------- --- ---

a_m1 a_m2 … a_mn x_n b_m

Решением системы называется всякая матрица-столбец Х, обращающая матричное уравнение А · Х = В в тождество. Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две системы называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой, т.е. у них множества решений совпадают.

Если ∆ - определитель матрицы А – не равен нулю, то система совместна и определенна, ее решение задается формулой:

.

Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:

,

где k=1,2,…,n, - определитель, получающийся из ∆ заменой k-го столбца на столбец свободных членов.

Пример решения задачи.

а) Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Найдем главный определитель матрицы коэффициентов системы уравнений по правилу треугольников:

.

Так как главный определитель отличен от нуля, то решение системы существует и единственно.

Найдем определители , подставляя столбец свободных членов вместо первого, второго и третьего столбцов главного определителя соответственно:

,

,

.

Отсюда получим решение системы уравнений:

,

,

.

Ответ: (-2;1;2).

Минором к элементу квадратной матрицы называется определитель, составленный из элементов матрицы , оставшихся после вычеркивания i–той строки и j–го столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу квадратной матрицы называется произведение .

б) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Найдем матрицу , обратную к матрице системы методом присоединенной матрицы.

Так как определитель матрицы А равен 27 (см. предыдущий пример), то обратная матрица существует, поэтому решение системы существует и единственно.

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Запишем присоединенную матрицу:

.

Найдем обратную матрицу:

.

Найдем решение системы уравнений:

.

Ответ: (-2;1;2).

Условия задачи 1.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10. .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) проекцию ребра A₁A₃ на ребро А₁А₂;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) длину высоты грани А₁А₂А₃, опущенной из вершины А₃ на ребро А₁А₂

6) объем пирамиды А₁А₂А₃А₄;

7) канонические уравнения прямой А₁А₃;

8) общее уравнение плоскости А₁А₂А₃;

9) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

10) канонические уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃, и длину этой высоты.