Определители третьего порядка

Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru :

Определители третьего порядка - student2.ru . (1)

Определителем третьего порядка, соответствующим таблице (1), называется число, обозначаемое символом

Определители третьего порядка - student2.ru

и определяемое равенством

Определители третьего порядка - student2.ru . (2)

Числа Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru называются элементами определителя. Элементы Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru расположены на диагонали определителя, называемой главной; элементы Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru , Определители третьего порядка - student2.ru составляют его побочную диагональ. Для практики вычислений полезно заметить, что первые три слагаемые в правой части равенства (2) представляют собой произведения элементов определителя, взятых по три так, как показано различными пунктирами на нижеприводимой схеме слева.

Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (2), нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано различными пунктирми на той же схеме справа, после чего у каждого из найденных произведений изменить знак.

Определители третьего порядка - student2.ru

Свойство 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка равны нулю, то и определитель равен нулю

Свойство 2. Определитель 3-го порядка не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.

Свойство 3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя 3-го порядка, то абсолютная величина определителя не изменится, а знак изменится на противоположный

Следствие. Определитель 3-го порядка, в котором каких-либо две строки (столбца) совпадают, равен нулю.

Свойство 4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка умножить на какое-либо число, то и определитель умножится на это число.

Следствие 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца) этого определителя, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка представляет собой сумму двух слагаемых, то и определитель можно представить в виде суммы двух слагаемых, например:

Определители третьего порядка - student2.ru a1 b1 c1 + d1 Определители третьего порядка - student2.ru
a2 b2 c2 + d2
a3 b3 c3 + d3
=
Определители третьего порядка - student2.ru a1 b1 c1 Определители третьего порядка - student2.ru
a2 b2 c2
a3 b3 c3
+
Определители третьего порядка - student2.ru a1 b1 d1 Определители третьего порядка - student2.ru
a2 b2 d2
a3 b3 d3

Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.

Теорема ЛАПЛАСА

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Определители третьего порядка - student2.ru (*)

(разложение по элементам i-й строки);

Определители третьего порядка - student2.ru

(разложение по элементам j-го столбца).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

Определители третьего порядка - student2.ru

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на ( - 1)k, где k - сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.

Наши рекомендации