Предельный признак сравнения
Пусть и ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их обоих членов.
=μ≠0
Тогда ряда одновременно сходятся или расходятся.
Пример:
Для числовых рядов и рядов предел отношения общих членов равен =1≠0
Поскольку первый ряд как обобщенный гармонический сходится , то по предельному признаку сравнения сходится и второй ряд.
Интегральный признак сходимости
Пусть все члены числового ряда и не возрастают а1≥а2≥…≥an≥…
Пусть существует непрерывно возрастающая функция у=f(x) , опр. При всех x≥1, такая что f(1)=a1; f(2)=a2… f(an)=an , тогда для сходимости числового ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интервал dx
Пример:
Для α>1 члены обобщенного гармонического ряда «+» и не возрастают.
Рассмотрим функцию f(x)= . Для х≥1эта функция непрерывна и не возрастает, кроме того f(n)= , т.е для нее выполнены все интегрального признака сходимости.
Несобственный интеграл является сходящимся при а>1
Действительно, по определению сходимости несобственного интеграла имеем:
= = * = =0+ <∞
Поэтому обобщенный гармоничный ряд
при α>1, является сходящимся
4. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременного абсолютно сходящегося ряда. Абсолютно сходящиеся ряды. Условно сходящиеся ряды.
Обобщенный геометрический ряд
при а>1 является сходящимся
а≤1 ряд расходящийся
Признаки Коши:
Пусть для числового ряда с положительными членами существует =λ
Тогда:
А) если λ<1, то ряд сходится
Б) если λ>1, то ряд расходится
Пример:
Для числового ряда с положительными членами
Найдем предел
= = = <1
Знакопеременные ряды:
Знакопеременным называется числовой ряд , содержащий бесконечно много положительных слагаемых и бесконечно много отрицательных слагаемых.
Числовой ряд является знакопеременным.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.
(A1) + (A2) +…+(An)= () – это модуль
Абсолютно сходящимся называется знакопеременный ряд , для которого ряд, составленный из модулей его членов, , является сходящимся.
Условно сходящимся, называется сходящийся знакопеременный ряд, составленный из модулей его членов , расходится.
Пример:
Знакопеременный ряд является абсолютно сходящимся, так как ряд сходится.
Знакочередующий ряды:
Знакочередующимся называется числовой ряд
А1-а2+а3-…(-1)n+1an= an
Где an>0 для всех n∈N
5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Признак Лейбница.
Знакочередующий ряд an сходится, если a1>a2>…>an>
Пример:
Знакочередующий ряд
1- удволетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится. Однако ряд из модуля его членов 1- является гармоническим и расходящимся. Таким образом исходный ряд является сходящимся.
Тема 2. Степенные ряды
6. Степенные ряды. Интервал, радиус сходимости.
Степенным рядом называется ряд вида
C0+C1X+C2X2+CnXn+…= , где cn – некоторые числа, Х-переменная. Коэффициентом степенного ряда называется числа С0,С1,…,Сn,…
Пример:
1+х+х2+…+хn+…= степенной ряд, все его коэффициенты равны 1. При каждом конкретном значении переменной степенной ряд становится числовым рядом, к которому применены все понятия и результаты, в частности, понятия абсолютной сходимости. Областью сходимости степенного ряда называется множества всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится.
Степенной ряд в предыдущим примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателям Х. его частная сумма Sn=s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Эта сумма имеет конечный предел при <1. Поэтому область сходимости исходного ряда является интервал (-1;1)
7. Свойства степенных рядов.
Теорема Абеля
a) Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х0≠0, то он сходится абсолютно при всех значениях <
b) Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х, таких что >
Из теоремы Абеля следует, что существует такоe число R≥0, что при <R сходится, а при >R ряд расходится. Вопрос о сходимости ряда при х=±R требует дополнительных исследований. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R≥0, что ряд сходится при <R и расходится при >R. Радиусом сходимости степенного ряда, при Сn≠≠0 находится по формуле
8. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.