Предельный признак сравнения

Пусть Предельный признак сравнения - student2.ru и Предельный признак сравнения - student2.ru ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их обоих членов.

Предельный признак сравнения - student2.ru =μ≠0

Тогда ряда одновременно сходятся или расходятся.

Пример:

Для числовых рядов Предельный признак сравнения - student2.ru и рядов Предельный признак сравнения - student2.ru предел отношения общих членов равен Предельный признак сравнения - student2.ru =1≠0

Поскольку первый ряд как обобщенный гармонический сходится , то по предельному признаку сравнения сходится и второй ряд.

Интегральный признак сходимости

Пусть все члены числового ряда Предельный признак сравнения - student2.ru и не возрастают а1≥а2≥…≥an≥…

Пусть существует непрерывно возрастающая функция у=f(x) , опр. При всех x≥1, такая что f(1)=a1; f(2)=a2… f(an)=an , тогда для сходимости числового ряда Предельный признак сравнения - student2.ru необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интервал Предельный признак сравнения - student2.ru dx

Пример:

Для α>1 члены обобщенного гармонического ряда Предельный признак сравнения - student2.ru «+» и не возрастают.

Рассмотрим функцию f(x)= Предельный признак сравнения - student2.ru . Для х≥1эта функция непрерывна и не возрастает, кроме того f(n)= Предельный признак сравнения - student2.ru , т.е для нее выполнены все интегрального признака сходимости.

Несобственный интеграл Предельный признак сравнения - student2.ru является сходящимся при а>1

Действительно, по определению сходимости несобственного интеграла имеем:

Предельный признак сравнения - student2.ru = Предельный признак сравнения - student2.ru = Предельный признак сравнения - student2.ru * Предельный признак сравнения - student2.ru = Предельный признак сравнения - student2.ru =0+ Предельный признак сравнения - student2.ru <∞

Поэтому обобщенный гармоничный ряд

Предельный признак сравнения - student2.ru при α>1, является сходящимся

4. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременного абсолютно сходящегося ряда. Абсолютно сходящиеся ряды. Условно сходящиеся ряды.

Обобщенный геометрический ряд

Предельный признак сравнения - student2.ru при а>1 является сходящимся

а≤1 ряд расходящийся

Признаки Коши:

Пусть для числового ряда Предельный признак сравнения - student2.ru с положительными членами существует Предельный признак сравнения - student2.ru

Тогда:

А) если λ<1, то ряд сходится

Б) если λ>1, то ряд расходится

Пример:

Для числового ряда Предельный признак сравнения - student2.ru с положительными членами

Найдем предел

Предельный признак сравнения - student2.ru = Предельный признак сравнения - student2.ru = Предельный признак сравнения - student2.ru = Предельный признак сравнения - student2.ru <1

Знакопеременные ряды:

Знакопеременным называется числовой ряд Предельный признак сравнения - student2.ru , содержащий бесконечно много положительных слагаемых и бесконечно много отрицательных слагаемых.

Числовой ряд Предельный признак сравнения - student2.ru является знакопеременным.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Знакопеременный ряд Предельный признак сравнения - student2.ru сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

(A1) + (A2) +…+(An)= Предельный признак сравнения - student2.ru () – это модуль

Абсолютно сходящимся называется знакопеременный ряд Предельный признак сравнения - student2.ru , для которого ряд, составленный из модулей его членов, Предельный признак сравнения - student2.ru , является сходящимся.

Условно сходящимся, называется сходящийся знакопеременный ряд, составленный из модулей его членов , расходится.

Пример:

Знакопеременный ряд Предельный признак сравнения - student2.ru является абсолютно сходящимся, так как ряд Предельный признак сравнения - student2.ru сходится.

Знакочередующий ряды:

Знакочередующимся называется числовой ряд

А123-…(-1)n+1an= Предельный признак сравнения - student2.ru an

Где an>0 для всех n∈N

5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Знакочередующий ряд Предельный признак сравнения - student2.ru an сходится, если a1>a2>…>an> Предельный признак сравнения - student2.ru

Пример:

Знакочередующий ряд

1- Предельный признак сравнения - student2.ru удволетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится. Однако ряд из модуля его членов 1- Предельный признак сравнения - student2.ru является гармоническим и расходящимся. Таким образом исходный ряд является сходящимся.

Тема 2. Степенные ряды

6. Степенные ряды. Интервал, радиус сходимости.

Степенным рядом называется ряд вида

C0+C1X+C2X2+CnXn+…= Предельный признак сравнения - student2.ru , где cn – некоторые числа, Х-переменная. Коэффициентом степенного ряда называется числа С01,…,Сn,…

Пример:

1+х+х2+…+хn+…= Предельный признак сравнения - student2.ru степенной ряд, все его коэффициенты равны 1. При каждом конкретном значении переменной степенной ряд становится числовым рядом, к которому применены все понятия и результаты, в частности, понятия абсолютной сходимости. Областью сходимости степенного ряда называется множества всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится.

Степенной ряд в предыдущим примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателям Х. его частная сумма Sn=s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Предельный признак сравнения - student2.ru Эта сумма имеет конечный предел Предельный признак сравнения - student2.ru при Предельный признак сравнения - student2.ru <1. Поэтому область сходимости исходного ряда является интервал (-1;1)

7. Свойства степенных рядов.

Теорема Абеля

a) Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х0≠0, то он сходится абсолютно при всех значениях Предельный признак сравнения - student2.ru < Предельный признак сравнения - student2.ru

b) Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х, таких что Предельный признак сравнения - student2.ru > Предельный признак сравнения - student2.ru

Из теоремы Абеля следует, что существует такоe число R≥0, что при Предельный признак сравнения - student2.ru <R сходится, а при Предельный признак сравнения - student2.ru >R ряд расходится. Вопрос о сходимости ряда при х=±R требует дополнительных исследований. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R≥0, что ряд сходится при Предельный признак сравнения - student2.ru <R и расходится при Предельный признак сравнения - student2.ru >R. Радиусом сходимости степенного ряда, при Сn≠0 находится по формуле

8. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Наши рекомендации