Интегральная теорема Коши для односвязной области.

Пусть f – функция аналитическая в некоторой области D и её производная непрерывна, тогда для любого замкнутого контура

0

Аналитичность интеграла с переменным верхним пределом.

Если определена и непрерывна в D и , то -- аналитична в D и в D

f(z) – непрерывная =>

Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Аналитическая функция в и f(z) непрерывная =>

Из данной области делаем односвязную с помощью разрезов, тогда , но

+34. Интегральная формула Коши.

Функция дифференцируема по в области D с выколотой точкой z. Выберем так, чтобы круг вместе с его границей лежал внутри . Тогда

где , так как , то

в силу непрерывности f(z)

+34.Теорема о бесконечной дифференцируемости интеграла типа Коши.

Интеграл Коши есть аналитическая функция в любой области не содержащей точек и имеет производную любого порядка

(по индукции)

Поскольку f(t) непрерывная на замкнутом множестве, то она на нём ограничена

Т.о. доказали

35.Теорема о -ой дифференцируемости аналитической функции.

Пусть аналитична в обл-ти и непрер. в замкн. обл-ти .Тогда во внутренних точках обл-ти производная порядка ф-ии , причём

□Для доказательства достаточно повторить следующие суждения соответствующее число раз. С помощью интеграла Коши (*) . Рассм. в обл-ти некую замкнутую подобласть , расстояние всех которой от границы обл-ти некого «+» числа .

- явл.аналитич-ой ф-ей в , причём -непрерыв.ф-ия своих аргументов. В силу общих св-в интегралов, зав.от параметра, в внут. -ах обл-ти (**). (**) явл. интегралом, завис.от пар-ра,и его подынт. ф-ия имеет те же св-ва, что подынт.ф-ия у (*). явл.аналитич-ой ф-ей в ,причём для её производной верно: .■

Теорема Морера.

Пусть -непрерывная в односв.области и от замкнутому контуру, целиком ,равен 0. Тогда -аналитическая в обл-ти .

□При условиях теоремы ,где -произвольные области , а берётся по пути, соединяющему эти в обл-ти ,является аналитической в этой обл-ти ф-ей, причём . Но, как было только что установлено, производная аналитической ф-ии также является анал.ф-ей, т.е. нерерывная производная ф-ии , а именно ф-ия ,что и доказывает теорему.■

Эта теорема в определённом смысле явл. обратной по отношении к т.Коши. Её легко обобщить на многосвязные области.

Принцип максимума модуля.

Пусть -анал-ая в обл. и непрерыв. в замкн. обл. .Тогда или или максимальные знач-я достигаются только на границе области.

□ по условию непрерывная в замкн.области.Она достигает своего макс.значения в какой-то данной обл-ти.Т.е. , (*). Пусть -внутр.точкаобл-ти . Построим в круг радиуса с центром в .Пишем ф-лу среднего для и учитвая (*): (**).

Т.к. непрерывна на контуре интегрирования и из (*) при (***). По (*) не может быть . Если предположим, что в какой-то интегрирования модуль то из непрерыв. и в некой , т.е. можно указать отрезок инт-ия , на котором Тогда ,что противоречит (**).Значит (***) имеет место.■

Теорема Лиувилля.

Пусть на всей компл.пл-ти ф-ия аналитическая, а равномерно ограничен. Тогда тождественно = постоянной. □Пишем в : ,интегрирование будем вести по окружности . Из условия такая ,что независимо от . Поэтому . Т.к. можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от . Т.к. выбираем на всей компл.пл-ти. . ■

Основная теорема алгебры

Полином -ой степени имеет на компл.пл-ти ровно нулей (с учётом их кратности).

□Представим полином в виде , где , . Составим . При заданных значениях всегда найдётся такое знач. , что для всех знач. имеет место: . По теор.Руше , что полное число нулей ф-ии в равно числу нулей в этом круге ф-ии . Но на всей компл.пл-ти имеет ! -кратный нуль - .Отсюда в силу произвольности и следует утверждение теоремы.■