Равномерная сходимость рядов ФКП.

Кр.Коши: Ряд (*) равном.сход.в обл. если

при натурального.

□(Необх.) Из равном. сход. (*)

при , для натур.

(Дост.)Из (**)по кр.Коши для числ.посл-ти с компл.числами , что при -сходится.Значит, при выполнении (**) ряд (*) сход.в к .

НО в силу (**): при во всех точках обл-ти одновременно.■

Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов ФКП.

Если ф-ии непрерывны в обл. , а ряд сход.в ней равномерно к , то непрер. в обл-ти .

□Рассм. , где принадлежат обл. .

Т.к. равномерная сходимость ряда ,для можно указать такое , что имеем: для ,что .Т.к. непрерна,то в для заданного и выбранного можно указать такое , что при . Из всего этого для можно указать при .■

Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов ФКП.

_n(z) равномерно сходится к f(z); f_n(z) аналитична в D D (z)dz= _n(z)

U_n(x)-непрерывен на [a,b] ; _n(x) равномерно сходится к S(x) на [a,b];

_n(x)dx= (x)dx;

□ U_n(x)-непрерывен на [a,b]

А S(x) – непрерывна на [a,b]; (по теореме о непрерывности суммы)

1)U_n(x), S(x)- непрерывны; S₁ , S₂ ;

2) n> ; x [a,b]: |S(x)-S_n(x)|<

Полученный ряд имеет _n конечную сумму _n= _n(x)dx

| (x)dx- _n|=| (x)dx- _n(x)dx|=| (x)dx - _n(x)dx|=| (x)- S_n(x)dx |<= |S(x)-S_n(x)|dx< (b-a) ■

+43.1-я теорема Вейерштрасса.

Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,а ряд сход.равномерно в замкн. подобласти обл-ти к ф-ии . Тогда: 1) -анал.ф-я в обл. .

2) .

3) Ряд сход.равномерно в замкн. подобласти обл-ти .

□1) Рассм. внутр. ,построим односвяз.подобл. обл-ти ,содержащую внутри. -непрерывная ф-ия в обл-ти . Рассм. от по произв. контуру целиком.Т.к. в силу аналитичности : . Выполнены все усл-я т.Морера. -ф-ияаналит-ая в точки .

Т.к. произвольная , -аналитическая в ■

□2) Фиксируем и выберем замкн.контур целиком и содержащим внутри. Миним. расстояние от до обозначим .Рассм. ряд .

Т.к ряд сход.равном. на в силу условий теоремы. Проинт.егопочленно по и используя инт-л Коши,имеем: . Т.к. - обл-ти ,то доказано.■

+43.

□3) Рассм. подобл-ть обл-ти и постр.замкн.контур содержащий внутри, причём . Для имеем: .Причём -остаток ряда .

В силу сходимости ,для можно указать такое , что на при будет равномерная оценка ,

где -длина контура .Тогда ,

что и доказывает.■

Эти доказательства для односвязной обл. . Для многосв.рассматривается аналогично.

Я теорема Вейерштрасса.

Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,непрерывные в и ряд

сход.равномерно на границе этой обл-ти.Тогда ряд равном.сход. и в .

□Разность частичных сумм данного ряда, ф-я ,как конечная сумма аналит-их ф-ий, явл.аналитической в и непрер.в .Из равном.сход. ,при для натурального и всех одновременно.

По теор.о максимуме аналит-ой ф-ии при для натурального и для всех . Выполнен кр.Коши, что и доказывает теорему.■

Теорема Абеля.

Если степенной ряд сход. в некот. ,то он абсолютно сходится в ,удовлетворяющую причём в радиуса , ряд сходится равномерно.

□Обозначим . Т.к. должен сходится, то при его члены .

Тогда (*) .

По условию сходится. Из (*) сходимость рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сход-ть в круге достаточно, по приз. Вайерштр., построить сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный ряд в рассматриваемой области. Такой ряд – это , тоже представляюет сумму бескон.геом. прогрессии со знаменателем ■