Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.

7) Степенной ряд (1) в промежутке Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , где Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , всегда можно интегрировать почленно, так что:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Значение Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru здесь может совпадать и с одним из концов промежутка сходимости, если на этом конце ряд (1) сходится.

8) Степенной ряд (1) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка сходимости, если только написанный ряд на этом конце сходится.

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Ф., представляемая степенным рядом в его промежутке сходимости, имеет внутри этого промежутка производные всех порядков. Сам ряд, по отношению к этой ф., является не чем иным, как её рядом Тейлора.

Ф., которая разлагается в ряд Тейлора по степеням Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , называется аналитической в т. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Разложение элементарных функций.

1) Разложение в ряд функции Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

2) Разложение в ряды Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru и Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

3) Разложение в ряды Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru и Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru . Формула Эйлера.

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

4) Разложение в ряд Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

где

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

остаточный член в виде Лагранжа, где Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru и Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

5) Разложение в степенной ряд степени бинома Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Если Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , то ряд превращается в бином Ньютона.

6) Разложение в ряд Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

где Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

7) Разложение в ряд Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Тригонометрический ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье периодических, четных, нечетных и непериодических функций.

Тригонометрический ряд Фурье.

Если Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru разлагается на отрезке Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

где Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

И называется: тригонометрический ряд Фурье, а Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru – коэффициентами ряда Фурье.

Теорема Дирихле.

Опр1 (Кусочная монотонность).

Ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru называется кусочно монотонной на сегменте Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов: Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , в каждом из которых ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru монотонна.

Если ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru кусочно монотонна на сегменте Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , то в любой внутренней т. этого сегмента Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru правые и левые пределы её значений, т.е. пределы:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Т1. (Теорема Дирихле).

Если ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru задана на сегменте Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках непрерывности этой функции:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

а во всех т. разрыва

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Разложение в ряд Фурье.

Разложение в ряд Фурье функций в интервале Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Пусть ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru кусочно-непрерывная и Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , тогда ряд Фурье имеет вид:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

а коэффициенты Фурьеравны:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Разложение в ряд Фурье функций в интервале Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru .

Если ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru определена в интервале Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , то её разложение в ряд определяется той же формулой:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

где Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , а коэффициенты Фурье равны:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Разложение в ряд Фурье чётной функции.

Если ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru определена в интервале Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , то её разложение в ряд определяется формулой:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

а коэффициенты Фурьеравны:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Разложение в ряд Фурье нечётной функции.

Если ф. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru определена в интервале Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru , то её разложение в ряд определяется формулой:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

а коэффициенты Фурьеравны:

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. - student2.ru

Комплексный анализ

Элементарные функции комплексного переменного.

Однозначные и многозначные функции. Обратные функции. Аналитические функции. Элементарные функции и их свойства

Наши рекомендации