Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
7) Степенной ряд (1) в промежутке , где , всегда можно интегрировать почленно, так что:
Значение здесь может совпадать и с одним из концов промежутка сходимости, если на этом конце ряд (1) сходится.
8) Степенной ряд (1) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что:
Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка сходимости, если только написанный ряд на этом конце сходится.
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Ф., представляемая степенным рядом в его промежутке сходимости, имеет внутри этого промежутка производные всех порядков. Сам ряд, по отношению к этой ф., является не чем иным, как её рядом Тейлора.
Ф., которая разлагается в ряд Тейлора по степеням , называется аналитической в т. .
Разложение элементарных функций.
1) Разложение в ряд функции .
2) Разложение в ряды и .
3) Разложение в ряды и . Формула Эйлера.
4) Разложение в ряд .
где
остаточный член в виде Лагранжа, где и .
5) Разложение в степенной ряд степени бинома .
Если , то ряд превращается в бином Ньютона.
6) Разложение в ряд .
где .
7) Разложение в ряд .
Тригонометрический ряд Фурье.
Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье периодических, четных, нечетных и непериодических функций.
Тригонометрический ряд Фурье.
Если разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
где
И называется: тригонометрический ряд Фурье, а – коэффициентами ряда Фурье.
Теорема Дирихле.
Опр1 (Кусочная монотонность).
Ф. называется кусочно монотонной на сегменте , если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов: , в каждом из которых ф. монотонна.
Если ф. кусочно монотонна на сегменте , то в любой внутренней т. этого сегмента правые и левые пределы её значений, т.е. пределы:
Т1. (Теорема Дирихле).
Если ф. задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках непрерывности этой функции:
а во всех т. разрыва
Разложение в ряд Фурье.
Разложение в ряд Фурье функций в интервале .
Пусть ф. кусочно-непрерывная и , тогда ряд Фурье имеет вид:
а коэффициенты Фурьеравны:
Разложение в ряд Фурье функций в интервале .
Если ф. определена в интервале , то её разложение в ряд определяется той же формулой:
где , а коэффициенты Фурье равны:
Разложение в ряд Фурье чётной функции.
Если ф. определена в интервале , то её разложение в ряд определяется формулой:
а коэффициенты Фурьеравны:
Разложение в ряд Фурье нечётной функции.
Если ф. определена в интервале , то её разложение в ряд определяется формулой:
а коэффициенты Фурьеравны:
Комплексный анализ
Элементарные функции комплексного переменного.
Однозначные и многозначные функции. Обратные функции. Аналитические функции. Элементарные функции и их свойства