Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения

В дальнейшем при формулировке и доказательстве теорем операционного исчисления мы всегда будем считать, что все рассматриваемые начальные функции:

1) изображаемы по Лапласу;

2) дифференцируемы необходимое количество раз;

3) все производные изображаемы по Лапласу.

Оригинал будем обозначать малыми буквами, а изображения – соответствующими большими буквами (например, Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru и т.д.).

Дифференцирование оригинала

Допустим, что оригинал Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru − дифференцируемая функция и его производная Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru также является оригиналом, причем Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru при Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Пусть Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . Найдем связь между Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru и Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . По определению изображения имеем: Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Выберем здесь Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru так, чтобы одновременно выполнялись неравенства

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . Выполняя в правой части интегрирование по частям, причем Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , находим

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Таким образом, из соотношения Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru следует:

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru (2.2) .

Предполагая, что оригинал Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru дифференцируем Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru раз и что Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru также является оригиналом, методом индукции из формулы (2.2) получим следующий результат:

Из соотношения Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru следует соотношение

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . (2.3)

Пример. Изображение функции Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru можно получить следующим образом: Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru ;

Интегрирование оригинала

Примем без доказательства, что если Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru может служить оригиналом, то оригиналом некоторого изображения будет и функция Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Найдем теперь изображение Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Так как Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , то полагая Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , по формуле (2.2) находим связь между Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru и Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru :

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru ,

откуда Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . Таким образом, из соотношения Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru следует

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . (2.4)

Примеры. 1. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , следовательно − Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

По индукции легко получить: Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru

2. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru

Дифференцирование изображения

В теории функций комплексного переменного доказывается, что несобственный интеграл

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , в котором Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru есть регулярная функция комплексного переменного Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru в замкнутой области Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru и непрерывная функция вещественного переменного Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru при Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , можно дифференцировать под знаком интеграла: Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru , если интеграл этот сходится равномерно относительно Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .При этом теорема остается верной и для несобственного интеграла, в котором подынтегральная функция Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru становится неограниченной.

Говоря о свойствах изображения, было установлено, что изображение является регулярной функцией комплексного переменного Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru в полуплоскости Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru и что в этой полуплоскости дифференцирование изображения можно выполнять под знаком интеграла Лапласа. Поэтому из равенства Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru следует, что

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . в правой части равенства стоит изображение функции Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . Таким образом, из соотношения Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru следует, что

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru (2.5)

Примеры. 1. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

2. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru

Интегрирование изображения

Пусть функция Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru является изображаемой по Лапласу, т.е. имеет место соотношение:

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Заменим функцию Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru интегралом Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru : Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru

и изменим в правой части порядок интегрирования:

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru ,

где Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Таким образом, если Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru и функция Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru изображаема по Лапласу, то

Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru . (2.6)

Пример. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения - student2.ru .

Наши рекомендации