Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.

Доказательство. Под почленным интегрированием понимается интегрирование ряда Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru по отрезку Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Результат этой операции: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Это тоже степенной ряд, его радиус сходимости Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru равен радиусу сходимости исходного ряда.

Ряд, получающийся в результате почленного дифференцирования тоже степенной ряд: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Его радиус сходимости Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru тоже равен радиусу сходимости исходного ряда.

2. (Почленное интегрирование степенного ряда).Пусть сумма степенного ряда на области сходимости равна функции Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , т.е. Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Тогда для Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда на отрезке Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru иТеоремы 18.2.3.2 о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда.

3. (Почленное дифференцирование степенного ряда).Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда, составленного из производных членов исходного ряда, на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru иТеоремы 18.2.3.3 о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда.

4. (Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда).Сумма Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru степенного ряда в любой точке интервала сходимости имеет производные любого порядка; эти производные могут быть получены последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из доказанной теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда; последовательное применение этой теоремы даёт Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru и т.д.

18.2.5. Ряд Тейлора. Мы доказали, что сумма Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru степенного ряда в любой точке интервала сходимости бесконечно дифференцируема. Выразим коэффициенты ряда через производные суммы (похожую задачу мы решали в разделе 7.7. Формула Тейлора).

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Положим здесь Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Все члены ряда, кроме нулевого, исчезают, и Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Положим Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , тогда Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Продолжая этот процесс, получим Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Заменив коэффициенты полученными выражениями, представим ряд как

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Тейлора функции Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . В частном случае, когда Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru и ряд принимает вид

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , его принято называть рядом Маклорена. Напомним, что эти ряды получены в предположении, что Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru - сумма степенного ряда и х - точка интервала сходимости.

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Теперь рассмотрим обратную задачу: какой должна быть функция Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , чтобы её можно было представить в виде суммы степенного ряда? Первое, что очевидно, это то, что Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru должна быть бесконечно дифференцируемой функцией (так как сумма ряда бесконечно дифференцируема). Второе - то, что коэффициенты ряда должны быть равны Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Поэтому предположим, что дана бесконечно дифференцируемая функция Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , мы нашли коэффициенты ряда по формуле Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , составили формальный ряд Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru и нашли область его сходимости. Будет ли сумма этого ряда на области сходимости равна Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru ? Это тот вопрос, которым мы будем заниматься дальше.

Приведём пример, когда ряд Маклорена функции Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru сходится не к Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , а к другой функции. Пусть Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Мы докажем, что все производные этой функции в точке х=0 равны нулю. При Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Такие неопределённости придётся раскрывать при вычислении любой производной; заменой t=1/x они сводятся к неопределённостям, содержащим степенные и показательные функции, значение предела во всех случаях определяется пределом показательной функции и равно нулю. Значение производной в точке х=0 находим по определению производной:

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Итак, производная Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru непрерывна в точке х=0 и равна нулю. Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru и т.д. Так доказывается, что все производные в точке х=0 равны нулю. Как следствие, все коэффициенты ряда Тейлора этой функции равны нулю, и на всей числовой оси ряд сходится к функции, тождественно равной нулю, а не к Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Сформулируем условия, при которых ряд Тейлора функции Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru сходится к этой функции. Эти условия удобно сформулировать в терминах остаточного члена формулы Тейлора. Напомним результаты раздела 7.7. Формула Тейлора: если Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru имеет в окрестности точки Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru все производные до n+1-го порядка включительно, то Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru может быть представлена в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , где Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru - остаточный член в форме Лагранжа; Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru - точка, расположенная между х и Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Теорема.Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru в окрестности точки Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Доказательство. Необходимость.Пусть в окрестности точки Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru функция Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , где Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru - частичная сумма ряда, Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru - его остаток. Так как Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Сравнивая эти представления, получаем Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Из сходимости ряда к Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru следует, что Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , что и требовалось доказать.

Достаточность.Если Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , то Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , т.е. остаток ряда стремится к нулю при Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , т.е. ряд сходится к функции Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

Применения степенных рядов.

18.2.6.3.1. Приближённое вычисление значений функций. Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , и функция разлагается в окрестности точки Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru в ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , которое надо найти, равно Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , и принимается Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Погрешность равна остатку ряда после n-го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru (или Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru ). При оценке Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru принципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, то Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru просто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией. В разделе 18.4.2. Знакочередующиеся рядымы рассмотрели и тот, и другой случай при нахождении значений Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru и Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru ; в разделе 7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлораприведён пример вычисления значения Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru с погрешностью Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Другие примеры будут рассмотрены ниже.

Интегрирование функций.

1. Как мы знаем, интеграл Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru аналитически не берётся. Это специальная функция, называемая интегральным синусом и обозначаемая Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Получим разложение этой функции в степенной ряд. Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , почленно интегрируем: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Ряд сходится к Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru при Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Теперь легко вычислить значение этой функции в любой точке. Пусть, например, надо найти Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru с погрешностью Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Ряд знакочередующийся, первый член, меньший Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , третий, поэтому Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

2. Найти Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Этот интеграл берётся аналитически. Надо разложить знаменатель на множители Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , разложить подынтегральную функцию на пять простых дробей, найти восемь неопределённых коэффициентов и т.д., и после этого вычислять значение первообразной в начальной и конечной точках. Поступим по другому. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно проинтегрируем: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Остаток ряда после n-го члена Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Если Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , достаточно взять n=2, и Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

18.2.6.3.3. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Пусть дана задача Коши: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru ,

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru

Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так. Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Первые n коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.

Примеры. 1. Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Из уравнения находим Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Дифференцируем уравнение: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Далее дифференцируем уравнение и находим значение производной в точке Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru : Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Так мы можем вычислить производные любого порядка. Решение задачи Коши: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru .

2. Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru . Находим: Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru Закономерность понятна. Производные порядка 3n-1 и 3n равны нулю, производная порядка 3n+1 равна Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , поэтому Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru С помощью признака Даламбера легко убедится, что этот ряд сходится при Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости. - student2.ru , следовательно, даёт решение задачи Коши на всей числовой оси.

Наши рекомендации